Siempre he pensado que las funciones lineales deben satisfacer $$f(x+y)=f(x)+f(y).$$ Estoy un poco confundido ahora, considere $f(x)=2x+3$ . $f(1)=5$ , $f(2)=7$ , $f(1+2)=f(3)=9 \neq f(1)+f(2)$ que era lo que pensaba que debían satisfacer las funciones lineales.
¿Podría alguien aclararlo?
Estás confundiendo entre dos nociones diferentes.
En cálculo, una función lineal es una función polinómica de la forma $f(x)=ax+b$ .
En álgebra lineal y análisis funcional, una función lineal es un mapa lineal. (una de las propiedades que satisface es $f(x+y)=f(x)+f(y)$ , conocido como aditividad )
La diferencia entre ambos es que este último necesita tener $f(0)=0$ . Prueba: $$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)\iff f(0)=0.$$ Lo discuto con más detalle en mi (aún no terminado) nota .
@TemplateRex En la mayoría de los libros de texto de cálculo estándar, una función lineal se define como una función cuya gráfica es una recta. Por eso hice hincapié en la distinción entre una función lineal en el contexto del cálculo, y en el contexto del álgebra lineal y el análisis funcional. Aunque estoy de acuerdo en que llamarla afín habría sido mucho mejor.
No sólo en el cálculo. Si buscas la definición de campo de división probablemente hablará de un polinomio que se divide "en factores lineales". Los factores lineales no son necesariamente de la forma $ax$ .
$f(x)$ = $2x$ + $3$ no es una función lineal (desde y hacia el conjunto de los números reales). Se puede ver fácilmente que $f(x+y)$ = $2x$ + $2y$ + $3$ y que $f(x)$ + $f(y)$ = $2x$ + $2y$ + $6$ . Es evidente que la igualdad fracasa.
Una función lineal (como un mapeo desde y hacia el conjunto de los números reales) debe estar en el rango de $ax$ , donde $a$ es un número real constante.
Encontrará un gran número de libros de texto y sitios web que describiría $f(x)=2x+3$ como una "función lineal". Puede que otros no, pero eso sólo significa que el término es ambiguo.
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Tienes razón, la linealidad significa $f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Funciones en ${\mathbb R}$ que realmente son lineales son de la forma $f(x)=kx$ para algunos $k\in {\mathbb R}$ . Los de la forma $f(x)kx+n$ con un valor no nulo $n$ debe llamarse afín .
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Aquí f no es una función lineal.
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El Página de Wikipedia sobre "función lineal" podría haberte advertido que estos son falsos amigos.
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Esto parece estar relacionado con ¿Por qué las rotaciones (en CG) no son lineales?
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@robjohn: esa es una buena respuesta para enlazar aquí como adenda: cómo hacer que las funciones afines sean realmente lineales (aumentando la dimensión del espacio). Pero el único duplicado real que aparece aquí hasta ahora es el enlace de Wikipedia (y eso no es in situ).
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@RespawnedFluff: No decía que fuera un duplicado, sólo que estaba relacionado.
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Relacionado con ¿Cuál es la diferencia entre función lineal y afín? .