Fórmula para el intervalo de predicción de regresión espacial

Question

Tengo un modelo de error espacial que he calculado y me gustaría crear una figura con el intervalo de predicción. Por el modelo de error espacial, me refiero a que los errores son espacialmente correlacionadas y por lo tanto OLS es imparcial, pero ineficiente (no un espacio de auto-regresivo modelo).

He utilizado el método geoestadístico de estadística espacial y se estimó una semivariogram mis datos y utiliza la semivariogram estimaciones para crear una ponderación de la matriz para dar cuenta de la autocorrelación espacial en los datos. Creo que la respuesta a esta pregunta, aunque podría ayudar a cualquier persona el uso de pesas en su regresión, independientemente de la estructura exacta de su ponderación de la matriz.

Veo que a partir de esta pregunta que la fórmula para un 95% de intervalo de predicción para OLS es
$$\hat{y} \pm 1.96 \hat{\sigma} \sqrt{1 + \mathbf{X}^* (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1} (\mathbf{X}^*)'}.$$

Dada mi intuición, mi conjetura sería que el intervalo de predicción para el caso con pesos sería este (donde $\Omega$ es la ponderación de la matriz):

$$\hat{y} \pm 1.96 \hat{\sigma} \sqrt{1 + \mathbf{X}^* (\mathbf{X}'\mathbf{\Omega}^{-1}\mathbf{X})^{-1} (\mathbf{X}^*)'}$$

y tenía la esperanza de que yo podría obtener la opinión de la comunidad acerca de la exactitud o si incluso estoy en el derecho de béisbol.

Answer 1

Tenga en cuenta que @whuber direcciones de todas las cuestiones planteadas en la pregunta, voy a ofrecer sólo la matemática de la información. La regresión espacial de error se supone que el modelo es el siguiente:

$$y=X\beta+u$$

donde $Euu'=\Omega$. La estimación eficiente de $\beta$, entonces es

$$\hat\beta=(X'\Omega X)^{-1}X'\Omega y$$

Cuando usted tiene una nueva observación se desprende también el modelo

$$y^*=X^*\beta+u^*$$

Podemos predecir $y^*$ $X^*\beta$ por lo que el error de predicción es

$$y^*-\hat{y^*}=X^*\hat\beta+u^*$$

Para el modelo lineal $u^*$ será independiente de $u$, por lo que

$$Var(y^*-\hat{y^*})=Var(X^*\hat\beta+u^*)=Var(X^*\hat\beta)+Var(u^*)=\sigma^2+\sigma^2X^{* } (X'X)^{-1})(X^{* })'$$

Para el modelo de error espacial tenemos $$\begin{align*} Var(X^{* }\hat\beta)= Var(X^{* } (X'\Omega X)^{-1}X'\Omega u) =X^{* } (X'\Omega X)^{-1})(X^{* })' \end{align*}$$

Pero ahora $u^*$ se correlaciona con $u$ y nosotros no tenemos tales conveniente su descomposición. Así, la fórmula en su pregunta no puede ser utilizado.

El planteamiento general de cómo calcular el error que se describe en este artículo. Se muestra cómo obtener la mejor predicción lineal insesgada en el modelo lineal cuando el modelo de los errores están correlacionados. Tenga en cuenta que esto en gran medida se basa en el hecho de que usted tiene un estimado confiable de $\Omega$, por lo tanto @whuber respuesta se aplica muy fuertemente. Incluso si usted tiene fórmulas correctas podrían dar malos resultados si se sabe que $\Omega$ no puede ser estimado de forma fiable.

Answer 2

Asumiendo $\Omega$ ha sido estimado no apreciable error-que rara vez es el caso, la fórmula correcta es dada por la ecuación para el kriging error de predicción. Es necesario para reemplazar todo bajo el signo de la raíz cuadrada. ¿Qué le falta a la segunda fórmula es explícita en la contabilidad de la covarianza entre el valor en la estimación de la ubicación y los valores de los datos.

Algunos de los recientes enfoques, tal como se presenta en el Diggle & Ribeiro "basado en el Modelo de Geoestadística" (implementado como un paquete de R) tiene el mérito adicional de la incorporación de la estimación de error de $\Omega$ en la predicción de la incertidumbre.