Deje $f:[0,1]\to [0,1]^2$ ser algunos continua surjective función, y $\mu_n$ - canónica de la medida de Lebesgue en $\Bbb R^n$. Así, en $[0,1]^2$ podemos definir dos medidas de probabilidad: $\mu_2$ $\nu_2:=f_*\mu_1$ es el pushforward medida: $\nu_2(A) = \mu_1(f^{-1}(A))$ por cada Borel medible de establecer $A$.
Mi conjetura sería que son mutuamente singular para todos los $f$, y que debería no ser demasiado duro para encontrar conjuntos de ejemplo en el que cada uno de ellos se lleva a $0$ valores mientras que el otro le asigna medida positiva, sin embargo no he practicado la teoría de la medida por un tiempo, así que no puedo pensar en nada sencillo.
Pregunta: me gustaría saber si $\mu_2$ $\nu_2$ son de hecho mutuamente singular para cualquier $f$ anterior.
