Si un finitely generado ideal es primo, no se sigue que los generadores son los principales?

Question

Si un finitely generado ideal es primo, no se sigue que los generadores son los principales? Esto es claramente cierto si es generado por $1$ elemento, pero es cierto para cualquier $n \ge 2$? Si no, existe el primer ideales generados por los elementos, ninguno de los cuales son los principales?

Answer 1

En $\mathbb{Z}[X]$, el ideal generado por a $2X$ $3X$ $(X)$ porque $X = 3X-2X$, por lo que es primo.

Sin embargo, $2X$ no es primo porque $2X$ divide $2\times X$, pero no divide a $2$ ni $X$$\mathbb{Z}[X]$. Lo mismo va para $3X$.

Answer 2

Tome el anillo $\mathbb F_2^3$ (con una de las componentes de la adición y la multiplicación). A continuación, el primer ideales son $\mathbb F_2\times \mathbb F_2\times \{0\}$, $\mathbb F_2 \times \{0\}\times \mathbb F_2$ y $\{0\}\times \mathbb F_2\times \mathbb F_2$.

Por ejemplo, $\mathbb F_2\times \mathbb F_2\times \{0\}$ es generado por $e_1 = (1,0,0)$$e_2 = (0,1,0)$, y este es el único set de generación de energía. Pero ni $e_1$ ni $e_2$ primer: Por ejemplo, $e_1$ divide $0 = e_2\cdot e_3$ (donde $e_3 = (0,0,1)$), pero $e_1$ divide ni $e_2$ ni $e_3$. Por lo tanto, $e_1$ no es primo.

Edit: Como se señaló en el comentario de abajo, el de arriba set de generación de energía no es el único, ya que también se $e_1+e_2 = (1,1,0)$ es un generador, que es incluso el primer! Por lo tanto, el ejemplo anterior (a pesar de responder a la pregunta) no contesta la pregunta que quería responder.

Déjame hacer otro intento: Considere el anillo de $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. Es conocido por ser un anillo de Dedekind. En particular, cada uno distinto de cero el primer ideal es un ideal maximal. El ideal de $(2,1+\sqrt{-5})$ no es principal. Si contiene un valor distinto de cero el primer elemento, decir $x$, $(x)$ sería un no-cero prime ideal. Pero, como se señaló anteriormente, $(x)$, entonces tiene que ser un ideal maximal y por lo tanto,$(x) = (2,1+\sqrt{-5})$: una contradicción.
En particular, $(2,1+\sqrt{-5})$ es un alojamiento ideal en el que no se genera por elementos principales.

Answer 3

Ni siquiera es cierto para los principales ideales, como usted dice: $0$ es un generador de $\{0\}$ en cualquier dominio, sino $0$ no es primo.

Y, en general, de los grupos electrógenos son flexibles. Usted puede añadir redundancia a ellos, y de generar el mismo ideal. Así, supongamos $x$ está en un set de generación de energía para un finitely generado ideal. A continuación, la adición de $x^2$ a la misma generación del sistema sigue arrojando un set de generación de energía, y $x^2$ no es primo.

Estas son cosas útiles a punto de salir por la pregunta como se indica. Si usted quiere incluir alguna otra hipótesis acerca de la generación del sistema es mínima o el ideal de ser distinto de cero, entonces creo que las otras soluciones que han cubierto esta bien.

Answer 4

No está claro qué entiende usted por los generadores. En $\mathbb Z$, $(4, 6)=(2)$ es primo, pero ni $4$ ni $6$.