Mientras estábamos mirando idempotente matrices, mi maestra trajo algunas propiedades sobre ellos, especialmente cuando el cuadrado de una matriz es igual a sí mismo, la matriz del espacio nulo es igual a la columna de espacio de la matriz de menos su respectiva matriz de identidad.
Es esto algo que debería ser trivial, he estado tratando de convencerme de que esto es cierto, pero me parece que no puede razonar esto a mí mismo.
Ya has tenido dos respuestas, pero he aquí una más intuitiva.
Las Matrices representan transformaciones lineales. Empezar con $\mathbb{R}^3$, y darle los ejes de coordenadas x, y, z. Considere lo que sucede si se aplica la transformación de $\alpha = $ "proyecto en el (x,y) en el plano".
A continuación, considere lo que sucede si $\alpha$ dos veces.
En otras palabras, la aplicación de $\alpha$ dos veces es el mismo que se aplica una vez, por lo $\alpha^2 = \alpha$.
Del mismo modo, las matrices de $M$ tal que $M^2 = M$ generalmente como "proyecciones". Después de todo, si $M^2 = M$, e $x$ es en la imagen de $M$,$Mx = x$.
En otras palabras, todo lo que "perpendicular" a la imagen de $M$ se mató, y todo lo que está en la imagen de $M$ se queda solo.
Otro punto de vista:
$$M=M^2\Longleftrightarrow M(M-\operatorname{Id})=0$$ de donde se desprende que el $$\operatorname{Col}(M-\operatorname{Id})\subset \operatorname{Ker}M$$
La igualdad se sigue del hecho de que tienen la misma dimensión: $$\operatorname{rk}(M-\operatorname{Id})= \dim\operatorname{Ker}M$$ que se puede ver, por ejemplo, de una forma triangular de $M$, ya que su única no-cero autovalor es $1$.
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