Interpretar $\prod_{n=3}^\infty 1- \frac{1}{n\choose 2}$ como probabilidad

Question

Hallar el producto infinito

$$\prod_{n=3}^\infty 1- \dfrac{1}{n\choose 2}$$

Es bastante sencillo expandir y cancelar los términos alternos para obtener $\frac13$ como respuesta. Sin embargo, observe cómo la expresión parece el producto de probabilidades "no" de algún suceso iterado sobre diferentes espacios muestrales. Estoy buscando una biyección entre este y aquel suceso.

Por ejemplo, pensé en la situación como si las bolsas tuvieran $2,3,4,\dots$ bolas respectivamente. Ahora seleccionamos $2$ bolas de cada bolsa una a una, y escribe la probabilidad de que no salga un par concreto de bolas de cada bolsa. Esto es exactamente igual a la expresión dada.

Answer 1

Una interpretación sencilla: tienes una bolsa que contiene dos bolas rojas y una bola azul. Sacas dos bolas, al menos una es azul. Sustituyes las bolas que has sacado y echas otra bola azul. Sacas dos bolas, al menos una es azul. Tu cantidad es la probabilidad de que esta cadena continúe para siempre, en lugar de terminar sacando las dos bolas rojas en algún momento.