Algunos problemas de análisis funcional

Question

En mi curso de pregrado de análisis funcional, hay esto $1$ problema en el que estoy atascado, y va:

Para $n = 1, 2, 3,...,$ que las funciones $f_n : [0, 1] [0, 1]$ satisfacer $|f_n(x)f_n(y)||xy|$ w $|x y| \frac{1}{n}.$ Demostrar que la secuencia ${f_n}$ tiene una subsecuencia uniformemente convergente.

¿Cómo empiezo esta prueba? ¿Alguien puede darme alguna pista?

Mi solución: Si dejamos que alguna función $\phi_n$ sea continua, lo que equivale a $f_n$ en algún $i/n$ para $i = 0,1,2,3,...,n.$ Denotemos la gráfica de $\phi_n$ sea un segmento de recta [(i-1)/n,i/n].Entonces no es difícil ver que $\phi_n \in [0,1]$ implica la $\phi_n$ utilizando la suposición dada en el problema respecto a que $f_n,$ podemos calcular los valores absolutos de las pendientes de $\phi_n$ en los intervalos: $$\bigg|\frac{\phi_n\big(\frac{i}{n}\big)-\phi_n\big(\frac{i-1}{n}\big)}{1/n}\bigg|=\bigg|\frac{f_n\big(\frac{i}{n}\big)-f_n\big(\frac{i-1}{n}\big)}{1/n}\bigg|\le 1$$

Si $0 \le k/n \le x\le y \le (k+1)/n \le 1$ se deduce inmediatamente que $|\phi_n(x)-\phi_n(y)|\le |x-y|.$ Si por el contrario consideramos el intervalo, $0\le x\le k/n \le m/n \le y \le 1,$ entonces tenemos los siguientes cálculos: $$|\phi_n(x)-\phi(y)| \le \bigg|\phi_n (x) -\phi_n\bigg(\frac{k}{n}\bigg)\bigg|+\sum^{m-1}_{p=k}\bigg|\phi_n \bigg(\frac{p}{n}\bigg) -\phi_n\bigg(\frac{p+1}{n}\bigg)\bigg|+\bigg|\phi_n \bigg(\frac{m}{n}\bigg)-\phi_n(y)\bigg|$$$$ |le |x-y|$$

Desde aquí tome la $\epsilon$ ser $\epsilon = \delta$ entonces $\{\phi_n\}$ es equicontinuo. A partir de aquí podemos aplicar el teorema de Arzela - Ascoli, alguna subsecuencia $\{\phi_{n_{j}}\}$ converge uniformemente en $[0,1]$ a una función límite $\phi$ . Ahora simplemente arregle algunos $x\in [0,1]$ para cada $j$ dejamos que $x_j$ sea un punto en $[0,1]$ de la forma $i/n_j$ para $i = 0,1,2,...,n_j$ tal que $1/n_j\le |x-x_j|\le 2/n_j.$ Ahora podemos realizar el último paso: $$|\phi(x)-f_{n_j}(x)|\le |\phi(x)-\phi_{n_j}(x)|+|\phi_{n_j}(x)-\phi_{n_j}(x_j)|+|f_{n_j}(x_j)-f_{n_j}(x)|\le ||\phi-\phi_{n_j}||_{\infty}+\frac{2}{n_j}+\frac{2}{n_j}\rightarrow 0$$

Por lo tanto, claramente $\{f_{n_j}\}$ converge uniformemente en $[0,1]$ a $\phi.$

Answer 1

Creo que la conexión pretendida con el Teorema de Arzela-Ascoli es que, aunque no se aplique aquí (no estamos tratando con funciones continuas), el argumento de su demostración habitual también lo establece.

En primer lugar, obsérvese que tenemos la siguiente propiedad sustitutiva de la continuidad para $|x-y|<1/n$ en este caso, $|f(x)-f(y)|\le 4/n$ . Esto es inmediato al comparar $f(x),f(y)$ con $f(z)$ para un $z$ con $|x-z|,|y-z|\ge 1/n$ .

Ahora proceda como en la demostración de A-A y haga $f_n$ convergente en (digamos) todos los racionales $q\in [0,1]$ mediante un procedimiento diagonal. Si ahora dividimos $[0,1]$ en $N\gg 1$ intervalos $I_j$ y fijar un $q_j$ en cada uno de ellos, entonces se deduce que $|f_n(x)-f_n(q_j)|\le \max \{ 4/n, 1/N\}$ para $x\in I_j$ . Por lo tanto, es uniforme (en $x$ ) control sobre cuánto $f_n(x)$ puede diferir del $\liminf$ y $\limsup$ de esta secuencia, y éstas son como máximo $2/N$ aparte. Desde $N$ era arbitraria, ahora se sigue la convergencia uniforme.