Integral

Question

Estoy tratando de evaluar $$\int_{-2}^0 \frac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}}dx$$ So far I had no succes using trig substitution or integration by parts, also some random substitution like $x = 2t$ y movido la exponencial en el numerador, pero estoy atrapado. ¿Usted tal vez me podría dar una idea? (este es un problema de admisión de la Universidad)

Answer 1

Factor $e^x$ en el denominador. Una vez que usted toma la raíz cuadrada, consigue $e^{x/2}$ en el denominador. Luego, realizar la sustitución:

Que $(x+2)e^{-x/2} = \tan \theta$

$-\dfrac{x}{2}e^{-x/2}dx = \sec^2 \theta d\theta$

$x=-2$, $\tan \theta = 0$

$x=0$, $\tan \theta = 2$

Por lo tanto, la integral se convierte:

$$\int_{-2}^0 \dfrac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}}dx = -2\int_0^{\arctan 2} \sec \theta d\theta = -2\ln(\sqrt{5}+2)$$

Answer 2

Mathematica no podía resolver esto,como está escrito, $$ I=\int_{-2}^0 \frac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}}dx $$ He introducido un parámetro $a$ $$ I(a)=\int_{-2}^0 \frac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}}dx $$ tomó un Mellin de transformación con respecto a $a$ $$ \mathcal{M}_a[I(a)](s)= \Gamma(s)\Gamma\left(\frac{1}{2}-s\ \ derecho)\int_{-2}^0 \frac{x \left(\frac{e^x}{(2+x)^2}\right)^{s}}{\sqrt{\pi}\sqrt{(x+2)^2}}dx $$ Mathematica puede resolver este $$ \mathcal{M}_a[I(a)](s)= \frac{-4^s\Gamma(s)\Gamma\left(\frac{1}{2}-s\ \ derecho)}{\sqrt{\pi}} $$ y a la inversa Mellin transformar da \begin{equation} I(a) = -2 \text{arcsinh}\left(\frac{2}{\sqrt{a}}\right) \end{equation} que para $a=1$ comprueba numéricamente como en torno a $I \approx -2.88727$