¿La existencia de un objeto matemático implica que es posible construirlo?

Question

En matemáticas, la existencia de un objeto matemático se demuestra a menudo por contradicción sin mostrar cómo se construye el objeto.

¿La existencia del objeto implica que al menos es posible construirlo?

¿O hay objetos matemáticos que existen pero que son imposibles de construir?

Answer 1

En realidad, la respuesta a esta pregunta se reduce a la forma en que definimos los términos "existencia" (y "construcción"). Si nos ponemos filosóficos por un momento, podemos argumentar que la constructibilidad es un requisito a priori para la existencia y, por lo tanto, esto, en términos generales, es parte del impulso para intuicionismo y constructivismo y relacionado con el impulso de (ultra)finitismo . $^1$ Por cierto, al menos hasta cierto punto podemos producir sistemas formales que capturen este punto de vista (aunque la postura filosófica debe entenderse realmente como anterior los sistemas formales que tratan de reflejarlos; creo que este fue un punto que Brouwer y otros hicieron con fuerza en la historia temprana del intuicionismo) .

Una interpretación menos filosófica sería interpretar "existencia" simplemente como "existencia demostrable relativa a alguna teoría fija" (digamos, ZFC, o ZFC + grandes cardinales). En este caso está claro lo que significa "existe", y la palabra restante es "construir". Teoría de la computabilidad puede darnos algunos resultados que pueden ser relevantes, dependiendo de cómo interpretemos esta palabra: hay un montón de objetos que podemos definir de forma complicada, pero que, probadamente, no tienen definiciones "concretas":

• El problema de detención no es computable.

• Kleene's $\mathcal{O}$ - o, el conjunto de índices para los ordenamientos computables, no es hiperaritmético.

• Un ejemplo mucho más profundo: aunque sabemos que para todos los grados de Turing ${\bf a}$ hay un grado estrictamente entre ${\bf a}$ y ${\bf a'}$ que es c.e. en $\bf a$ También podemos demostrar que no hay una manera "uniforme" de producir tal grado en un sentido preciso.

Subiendo más la escalera, las ideas de teoría del modelo interno y teoría descriptiva de conjuntos se vuelven relevantes. Por ejemplo:

• Podemos demostrar en ZFC que existe una base (Hamel) para $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ Sin embargo, también podemos demostrar que ninguna base de este tipo es "agradablemente definible", en varios sentidos precisos (y obtenemos resultados más fuertes en este sentido a medida que añadimos axiomas cardinales grandes a ZFC). Por ejemplo, ninguna base de este tipo puede ser Borel.

• Otros ejemplos del mismo tipo: un ultrafiltro no trivial en $\mathbb{N}$ una buena ordenación de $\mathbb{R}$ un conjunto Vitali (o Bernstein o Luzin), o de hecho cualquier conjunto no medible (o conjunto sin la propiedad de Baire, o sin la propiedad de conjunto perfecto); ...

• En el otro lado del pasillo, la teoría ZFC + un cardinal medible demuestra que existe un conjunto de números naturales que no es "construible" en un sentido preciso de la teoría de conjuntos (básicamente, se puede construir sólo a partir de la "recursión transfinita definible" a partir del conjunto vacío). Ahora la conexión entre $L$ -y la noción informal de una construcción matemática es, en el mejor de los casos, tenue, pero en mi opinión esto dice que un cardinal medible produce un conjunto de naturales difícil de construir en un sentido preciso.

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$^1$ En realidad no mantengo estas posturas excepto en muy raras ocasiones Por lo tanto, no soy la persona más indicada para comentar sus motivaciones; por favor, tomen esta frase con un grano de sal.

Answer 2

Existe una base de Hamel para el espacio vectorial $\Bbb{R}$ en $\Bbb{Q}$ pero nadie ha visto uno hasta ahora. Es el axioma de la elección que asegura la existencia.

Answer 3

No estoy seguro de si lo de "construible" en este contexto está relacionado, pero creo que este ejemplo también cuenta.

No todos los polígonos regulares son construibles. El Teorema de Gauss-Wantzel declaró que,

Una regularidad $n$ -es construible con compás y regla si

• $n$ es un primo de Fermat (Un primo en forma de $2^{2^m}+1$ )
• $n=2^k$
• $n$ es el producto de una potencia de $2$ y distintos primos de Fermat.

Así, por ejemplo, el heptágono regular ( $7$ -gon) existe pero no es construible.

Answer 4

Cabe mencionar que Errett Bishop desarrolló su versión de la matemática constructiva precisamente a causa de su desilusión con sus anteriores investigaciones en el análisis complejo, que en su opinión implicaban objetos que no admitían ninguna construcción. Su último trabajo en matemáticas clásicas fue el artículo

Bishop, Errett. Differentiable manifolds in complex Euclidean space. Duke Math. J. 32 1965 1-21

que fue y sigue siendo influyente. Después de 1965, publicó una docena de artículos, todos ellos relacionados con las matemáticas constructivas.

Answer 5

Como ya han dicho otros, depende de su concepto de construible .

¿Puedes construir objetos infinitos? Creo que la mayoría de la gente está de acuerdo en que se puede construir cualquier número natural, entero o racional. Pero el conjunto es infinito. ¿Se puede construir? Por otro lado, la mayoría de los números reales son "infinitos" en sí mismos. ¿Se puede construir $\sqrt{2}$ ? ¿Qué pasa con $\pi$ o $e$ ?

Las cosas se complican. Una vez que se tiene una definición precisa de $\pi$ se puede construir trivialmente con estos pasos:

1. Tome $\pi$ .
2. Hecho.

¿Es eso satisfactorio?

Matemáticas constructivas (véanse también los enlaces) intentan responder a su pregunta. Por desgracia, una vez que te desvías de la matemática tradicional, te enfrentas a la realidad de la misma: un esfuerzo humano. Es decir, múltiples interpretaciones, diferentes lógicas, sistemas de prueba, conjuntos de axiomas, notaciones... Así que también hay múltiples enfoques de las matemáticas constructivas...