Decir $a=b$. ¿Es "Hacer lo mismo a ambos lados de una ecuación, y conserva" un axioma?

Question

Recientemente he comenzado repasando las nociones matemáticas, que siempre he aceptado. Hoy es uno de los fundamentales utilizados en las ecuaciones:

Si tenemos una ecuación, la ecuación tiene si hacemos lo mismo a ambos lados.

Esto parece perfectamente claro, pero debe indicarse como un axioma en algún lugar, presumiblemente en logic(?) formal. Sólo, no sé lo que sería llamado, o cómo buscar para él - ¿alguien sabe?

Answer 1

Este axioma se conoce como la sustitución de la propiedad de la igualdad. Se afirma que si $f$ es una función, y $x = y$,$f(x) = f(y)$. Véase, por ejemplo, Wikipedia.

Por ejemplo, si la ecuación es $4x = 2$, entonces se puede aplicar la función de $f(x) = x/2$ a ambos lados, y el axioma dice que $f(4x) = f(2)$, o en otras palabras, que el $2x = 1$. Entonces, usted puede aplicar el axioma de nuevo (con la misma función, incluso) a la conclusión de que la $x = 1/2$.

Answer 2

"Hacer lo mismo a ambos lados" es bastante vago. Lo que podemos decir es que si $f:A \rightarrow B$ es un bijection entre conjuntos de $A$$B$, entonces, por definición

$\forall \space x,y \in A \space x=y \iff f(x)=f(y)$

La operación de la adición de $c$ (y su inversa restando $c$) es un bijection en grupos, anillos y campos, por lo que podemos concluir que

$x=y \iff x+c=y+c$

Sin embargo, la multiplicación por $c$ es sólo un bijection para ciertos valores de $c$ ($c \ne 0$ en los campos, $\gcd(c,n)=1$ $\mathbb{Z}_n$ etc.), por lo tanto, aunque podemos concluir

$x=y \Rightarrow xc = yc$

no es seguro asumir que el conversar es decir, en general

$xc=yc \nRightarrow x = y$

y tenemos que tener cuidado acerca de qué valores de $c$ que puede "cancelar" de ambos lados de la ecuación.

Algunas funciones polinómicas son bijections en $\mathbb{R}$ p. ej.

$x=y \iff x^3=y^3$

pero otros no por ejemplo

$x^2=y^2 \nRightarrow x = y$

a menos que restringimos el dominio de $f(x)=x^2$ a, por ejemplo, no negativo reales. Del mismo modo

$\sin(x) = \sin(y) \nRightarrow x = y$

a menos que restringimos el dominio de $\sin(x)$.

Así que, en general, sólo podemos "cancelar" y es una función de ambos lados de una ecuación si estamos seguros de que es un bijection, o si se ha restringido su dominio o rango para crear un bijection.

Answer 3

Hay una manera en que es un axioma, y otra en la que no lo es. Voy a tratar de describir tanto.

Cuando usted hace de la lógica formal y empezar con las variables ($x_1,...,x_n,...$), la relación de símbolos ($R_i, i\in I$) y los símbolos de la función ($f_j, j\in J$). Para construir las fórmulas con estos. Una noción importante es la de un término en este idioma. Un término que se define recursivamente como una variable, o una cadena de la forma $f_j(t_1,...,t_n)$ donde $f_j$ es un símbolo de función de arity $n$ $t_1,...,t_n$ son términos (esto es puramente sintáctica).

A continuación, crear un sistema de deducción que consiste en las reglas que se pueden aplicar en determinadas situaciones (por ejemplo, si usted resultó $A$$B$, se puede probar $A\land B$).

Una de estas reglas es la sustitución de la regla: una forma de definir es la siguiente : para cualquiera de los términos $t_1,...,t_n, u_1,...,u_n$ y cualquier símbolo de función $f$ de arity $n$, si para todos $i$, $t_i = u_i$ se demostró entonces uno puede deducir $f(t_1,...,t_n) = f(u_1,...,u_n)$

En esta situación es un axioma.

Sin embargo, en el común de la situación de álgebra y "el trabajo matemático", es una consecuencia de otra norma de sustitución, la sustitución de la regla de relación símbolos. De hecho, todas las matemáticas puede ser construido a partir de la teoría de conjuntos con ningún símbolo de función y sólo una relación de símbolo ($\in$). En este contexto una función de $A\to B$ está definido (por ejemplo) como un subconjunto $f$ $A\times B$ tal que para todos los $x\in A$, no hay una única $b\in B$ tal que $(a,b)\in f$. $f(a)$ es entonces definida como este singular $b$

Ahora si $x=y \in A$, $f:A\to B$ es una función, entonces $(x,f(x)) \in f$$(y,f(y))\in f$, por lo que por la sustitución de la regla de relación símbolos $(x,f(y))\in f$, por lo que el $f(x)=f(y)$ (singularidad).

La sustitución de la regla para la relación de símbolos es muy similar a la de uno de los símbolos de la función y es, de nuevo un axioma: que puede ser descrito como: si $t_1,...,t_n,u_1...,u_n$ son términos, $R$ es una relación símbolo de arity $n$; si para todos $i$, $t_i= u_i$ ha sido probado y $R(t_1,...,t_n)$ ha sido demostrado, entonces uno puede deducir $R(u_1,...,u_n)$

(usted puede ver que el estado no está tan lejos de un axioma, pero técnicamente no es que en esta segunda situación)

Answer 4

Cualquier determinista proceso que se realiza en las mismas entradas, se producirá el mismo resultado. Esa es la definición de "determinista". Si dos cosas son iguales, entonces se va a aplicar el mismo proceso a la misma cosa, para obtener el mismo resultado. La expresión "x = 5" es que dicen que el símbolo "x" y el símbolo "5" representan el mismo valor. Por lo tanto, "f(x)" y "f(5)" también debe representar el mismo valor, ya que ambos son f aplicada en el mismo valor.

En el CS, el término "función" se utiliza a veces para referirse a los no determinista de los procesos; por ejemplo, "elige un número al azar entre 1 y n" puede ser considerada como una "función" de n por parte de algunos programadores (aunque no funcionales de los programadores), aunque el proceso aplicado para el mismo número puede resultar en diferentes salidas. Así que usted tiene que estar seguro de que su proceso es determinista.

Otro problema que uno tiene que ser cuidadoso apero es que el proceso de toma de valores como entradas, no expresiones. Por ejemplo, si $f$ representa el proceso de "restar 1 al numerador y denominador", $f(\frac{2}{3}) =\frac{1}{2} $ mientras $f(\frac{4}{6}) =\frac{3}{5} $ ; a pesar de que las expresiones $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{6}$ representan el mismo valor, $f$ que se aplica a ellos no resultan en expresiones que representan el mismo valor, debido a $f$ está actuando en la representación de los valores, y no en los valores en sí mismos. A veces, un proceso que se expresa como actuar en la representación todavía puede ser bien definido como una función del valor. Por ejemplo, ajustando el numerador y el denominador, se obtiene el mismo valor, independientemente de lo que la representación de un número racional puede escoger.

Una última cuestión es que a pesar de que a = b implica f(a) = f(b), f(a) = f(b) no implica a = b. Esto significa que usted no sólo tiene que ser cuidadoso acerca de la "cancelación" de una operación que se ha hecho a ambos lados, también tienes que ser cuidadoso acerca de cómo obtener soluciones extrañas.

Answer 5

Recuerdo estar confundido acerca de la diferencia entre los argumentos que se han escrito en el "hacer lo mismo a ambos lados" formato, p. ej. \begin{align} 7x &= 3 - 5x \\ 12x &= 3 \\ x &= 3/12, \end{align} y los argumentos que fueron escritos en una especie de "cadena de igualdades" formato, p. ej. \begin{align} x = \frac{1}{12}{(12x)} = \frac{1}{12}(7x + 5x) = \frac{1}{12}(3 - 5x + 5x) = \frac{3}{12}. \end{align} Con un sencillo ejemplo, el último parece un poco tonto, pero creo que yo diría que en el final, el más matemáticamente maduro tipo de escritura es la segunda. De alguna manera se hizo claro para mí cuando me di cuenta de que si la manipulación de una ecuación, a continuación, sólo hay un número no (sólo, digamos, escrito en dos formas diferentes).

Por lo que el formato en el que escribe una ecuación y hacer lo mismo a ambos lados es una especie de " suspensión de la incredulidad hasta encontrar $x$ a la final, es decir, que son una especie de no-totalmente dispuesto a aceptar la igualdad hasta que encuentre una $x$ por que es cierto, pero para encontrar un $x$ por que es cierto que está suponiendo que hay uno. Esto es completamente natural. Esta "suspensión de la incredulidad' le permite resolver la ecuación... en realidad no se puede empezar con $x = ....$ y sólo intuir qué escribir en la "cadena de igualdades" formato, solo se puede hacer porque ya has trabajado. Y, sin embargo, después de haber trabajado y escrito de esta manera, en realidad es sorprendentemente fácil de leer porque cada paso en la cadena de igualdades es un re-escritura de exactamente el mismo número . Yo no soy 'hacer' nada 'lados' de algún ente abstracto llamado una 'ecuación'.