Estoy practicando con el Primer Teorema de Isomorfismo de anillos. Aquí es una pregunta que me tiene atascado en.
Deje $p$ ser el primer y deje $T$ el conjunto de los números racionales (en términos mínimos) cuyos denominadores no son divisibles por $p$. Deje $I$ el conjunto de elementos en $T$ cuyos numeradores son divisibles por $p$. Mostrar que $T/I\cong \mathbb{Z}_p$.
Básicamente necesito una surjective homomorphism de $T$ $\mathbb{Z}_p$con kernel $I$. Mi idea era la de definir $f:T\to \mathbb{Z}_p$$f(m/n)=[m]_p$, pero este resulta no ser un homomorphism. Por ejemplo, la elección de $p=5$, ahora $f(\frac{3}{2}+\frac{1}{3})=f(\frac{11}{6})=[11]_5=[1]_5 \neq [4]_5=[3]_5+[1]_5=f(\frac{3}{2})+f(\frac{1}{3})$.
También he intentado $f(m/n)=[mn]_p$, $f(m/n)=[n]_p$, y $f(m/n)=[m+n]_p$, pero nada parece funcionar.
Agradecería algunos consejos en cuanto a qué tipo de función que se necesita para elegir. Gracias!
