¿Cómo encontrar las soluciones enteras de$\frac{2^m-1}{2^{m+x}-3^x}=2a+1$?

Question

¿Hay alguna manera de encontrar todos los tripletes enteros de$(x, m, a)$ para la siguiente ecuación? ps

Answer 1

@Próxima hizo ya el enlace a la otra Q&a, por lo que hay más necesidad de discutir más a fondo. Pero yo he mirado esta vez con un enfoque ligeramente diferente, y puede ser la reformulación se ve interesante para usted para seguir experimentando.

Vamos a por conveniencia $2a+1 = k$ y vamos a expresar $3^x$ en términos de $2^m$ tal que $3^x = n \cdot 2^m + r$ donde $0<r<2^m$

Luego de su fórmula $${ 2^m- 1 \over 2^m2^x - 3^x } = 2a +1$$ los cambios $${ 2^m - 1 \over 2^m2^x - (n2^m + r) } = k\\ { 2^m - 1 \over 2^m (2^x - n) - r } = k\\ 2^m - 1 = k(2^m (2^x - n) - r)\\ 2^m = k 2^m (2^x - n) - (kr -1)\\ 1 = k (2^x - n) - {kr -1 \más de 2^m}\\ k (2^x - n) = {kr -1 \más de 2^m}+1 \qquad \qquad \text{donde } {kr -1 \más de 2^m}+1\le k\\ $$ La última forma de esta ecuación tiene ahora un interesante adicional de la propiedad. El rhs ahora se puede en la mayoría de igualdad de $k$ (debido a $r$ es menor que $2^m$) así en el lhs el plazo $2^x-n$ no está permitido ser mayor que 1, por lo que necesitamos $n=2^x-1$. Pero si nos fijamos ahora en la descomposición de las $3^x$ entonces vemos, que debe tener ese $3^x = n \cdot 2^m +r = (2^x-1) \cdot 2^m + r = 2^{x+m} - 2^m+r$y la diferencia entre el poder perfecto de 2 y de que el poder perfecto de 3 se espera que $2^{x+m}-3^x = 2^{x+m} - (2^{x+m}-2^m+r) = 2^m-r$ . Pero esto sucede sólo en el "trivial" caja pequeña(s).
La relación de fronteras perfecto potencias de 2 y 3 han sido muy estudiadas, y quizá también sea interesante para que usted mire el "Mensaje" problema para ver algunos más general de las relaciones.

Una más pequeña observación: no sólo tenemos un enfoque en la diferencia entre el perfecto poderes aquí, pero también algunos modularidad condición: el valor de $2a+1 = k$ debe ser el inverso modular de la residual $r = 3^x - n \cdot 2^m$ y es restringida por esta regla ... y así uno podría mirar con un poco más couriosity...