Si $m^2 = (a+1)^3 - a^3$, $m$ es la suma de dos cuadrados.

Question

Probar que: $$\text{If} \space m^2=(a+1)^3-a^3\text{ where}\space m,a\in\mathbb{N} \implies \exists c,d \in\mathbb{N}\space \text{ such that}\space m=c^2+d^2.$$ Tal vez es un error, si es que me deja saber por qué. Realmente necesito la respuesta de esta pregunta.

(Hice esta pregunta en la Edición de este enlace , pero tengo que encontrar la respuesta pronto, así que no me acaba de preguntar de nuevo por aquí.)

Editar (y sugerencia): tiene una respuesta como $m = n^2+(n+1)^2$ pero no sé cómo encontrar esta n para m a partir de la ecuación de arriba.

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ Veces $4$ rendimientos $\rm\ 3\ (2\ a + 1)^2 = (2\ m-1)\ (2\ m + 1)\:.\ $ Los últimos factores son coprime así

$\rm(1)\quad 2\ m - 1 = 3\ j^2,\ 2\ m + 1 = k^2\ \Rightarrow\ k^2 - 3\ j^2 = 2\ \Rightarrow\ k^2 \equiv -1\pmod 3\ \Rightarrow\Leftarrow$

$\rm(2)\quad 2\ m - 1 = \ j^2,\quad 2\ m + 1 = 3\ k^2 \Rightarrow\ odd\ j = 2\ i +\! 1\ \Rightarrow\ m\: = \dfrac{j^2+1}2 = (i\!+\!\!1)^2\!\! +\! i^2\ $ QED

COMENTARIO $\ \ $ La técnica anterior, la explotación de la estructura de coprime factores de poderes en una unidad flash usb, es omnipresente en la teoría de números. Tal vez el ejemplo más sencillo es la parametrización de ternas Pitagóricas primitivas $\rm\ x^2 + y^2 = z^2\:.$ La esencia de la prueba es: $\rm\ x+y\ i,\ \ x-y\ i\ $ son coprime factores de una plaza en una unidad flash usb, por lo que deben ser en sí mismas plazas (hasta la unidad de los factores). Por lo tanto, $\rm\ x + y\ i\ =\ (m + n\ i)^2 =\ m^2 - n^2 + 2\: m\: n\ i\:.\: $ del mismo modo que uno puede resolver de bajo grado casos de Último Teorema de Fermat mediante el empleo de análogos factorizations sobre ciertos anillos de enteros algebraicos. Por ejemplo, Gauss demostró que no hay soluciones para el exponente 3, trabajando en el anillo de enteros de $\rm\ \mathbb Q(\sqrt{-3})\:,\: $ y Dirichlet hizo de manera similar para el exponente 5 uso de la $\rm\ \mathbb Q(\sqrt{5})\:.$ más Tarde Kummer generalizado de estas técnicas para manejar todos los regulares de primer exponentes mediante el trabajo de más anillos de cyclotomic enteros. Para una buena exposición de ver Ribenboim: 13 conferencias sobre el último teorema de Fermat. Weil bien resume la esencia de estas técnicas en su Teoría de los números, Ch.IV,S. VI,pág.335:

Answer 2

La secuencia de estas $m$ es oeis.org/A001570 y allí nos enteramos de que $m$ es una suma de cuadrados consecutivos, que es más de lo que necesitamos.

oeis.org/A001570 puntos a esta nota:

Victor Thebault, Cubos Consecutivos con Diferencia de un Cuadrado, La American Mathematical Monthly, Vol. 56, Nº 3 (Mar., 1949), pp 174-175.

Allí nos enteramos de que $m^2 = (a+1)^3 - a^3 = 3a^2+3a+1$ es equivalente a $(2m)^2-3(2a+1)^2=1$. De hecho, $(2a+1)^2=4a^2+4a+1$$4m^2=3(2a+1)+1$. Esta es una ecuación de Pell $u^2-3v^2=1$,$u=2m$$v=2a+1$.

También aprendemos en que se tenga en cuenta que $m=(x+1)^2+x^2$ se reduce a la misma ecuación de Pell $4r^2-3s^2=1$, pero no se dan más detalles. Estos se dejan como ejercicio. :-)

Answer 3

Por lo tanto, si $(2m)^2-3y^2 = 1$, entonces:

$$4m = (2+\sqrt 3)^l + (2-\sqrt 3)^l$$

para un entero impar $l$.

Pero $2+\sqrt 3 = \frac{(1+\sqrt 3)^2}2$, por lo que podemos reescribir esto como:

$$2^{l+2}m = a^{2l} + b^{2l}$$

Donde $a = 1+\sqrt 3$, $b=1-\sqrt 3$. Tomando nota de que, desde el $l$ es impar y $ab=-2$:

$$2^{l+1}=(-2)^{l+1} = -2(ab)^l = -2a^lb^l$$ podemos restar $2^{l+1}$ desde ambos lados y conseguir que:

$$2^{l+2}m - 2^{l+1} = a^{2l} + 2a^lb^l + b^{2l} = (a^l + b^l)^2$$

Pero $a^l+b^l$ es un número entero, por lo $2^{l+2}m - 2^{l+1}$ es un cuadrado. Desde $l$ es impar, $2^{l+1}$ es un cuadrado, por lo $2m-1$ debe ser un cuadrado.

Es decir, $2m = z^2 + 1$ algunos $z$, y, por tanto, $m = u^2 + (u+1)^2$ donde $u = \frac{z-1}2$

Answer 4

Me parece una respuesta para mi questionn: $$(a+1)^3-a^3 = m^2 \Rightarrow 3a^2+3a+1=m^2\Rightarrow 9a^2+9a+3=3m^2\Rightarrow (3a+1)^2+3a+2=3m^2$$ now we assume $3a+1 = t$ así: $$t^2+t+1-3m^2 = 0 \rightarrow t = \dfrac{-1\pm\sqrt{1-4(1-3m^2)}}2\Rightarrow t=\dfrac{-1\pm\sqrt{12m^2-3}}2$$and $t>0$ así: $$t=\dfrac{\sqrt{12m^2-3}-1}2$$ y sabemos $t$ es naturales, así: $$\sqrt{12m^2-3} = k \Rightarrow k^2 = 3(4m^2-1)$$ entonces, si asumimos $p = 2m$ : $$k^2=3(p^2-1)\Rightarrow 3(p-1)(p+1)\ ,\ gcd(p-1,p+1)=1$$ Y el resto de la solución es como la de Bill respuesta!

Obviamente Bill respuesta es la mejor, pero es la mía:).