Una bola (infinitamente pequeña) que comienza en el centro de una mesa de estrella de 5 puntas (5 puntos exteriores de 10m de radio, 5 puntos interiores de 5m de radio) tiene un ángulo inicial de un valor aleatorio de 0 a 360 grados. La bola se suelta y viaja alrededor de la mesa. En promedio, ¿cuántos lados habrán sido golpeados una vez que la pelota haya recorrido 1000 m?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para que la gente empiece a pensar.
Cada punto del pentáculo es un triángulo isósceles con ángulos de base $64^\circ$ , ángulo superior $52^\circ$ . Las longitudes de los lados son 6,6407, la base 5,8779 y la altura 5,9549.
Sin pérdida de generalidad, escalar el pentáculo por $\frac{1}{5.9549}$ y consideremos que la pelota recorre una distancia de $\frac{1000}{5.9549}$ .
Si imaginamos que el punto se encuentra de lado con el punto medio de su base en $(0,0)$ y la parte superior en $(1,0)$ la región está delimitada por las líneas
$$\begin{cases} x=0\\ y=\tan(154^\circ)x-\tan(154^\circ)\\ y=\tan(26^\circ)x-\tan(26^\circ)\\ \end{cases}$$
La bola puede entrar en esta región con un ángulo respecto al eje x de $-90^\circ$ a $90^\circ$ y con un valor y de $-\tan(26^\circ)$ a $\tan(26^\circ)$ . Debido a la simetría, sólo tenemos que considerar los ángulos positivos, es decir, la pelota se dirige hacia arriba.
Que el ángulo sea $\theta_0$ y la posición de la pelota sea $y_0$ . La pelota se desplaza a lo largo de la línea
$$y=\tan(\theta_0)x+y_0$$
En aras de la brevedad, dejemos que $\tau=\tan(26^\circ)=-\tan(154^\circ)$ y $\gamma_n=\tan(\theta_n)$ . Dando $$\begin{cases} x=0\\ y=-\tau x+\tau\\ y=\tau x-\tau\\ \end{cases}$$
$$y=\gamma_0x+y_0$$
El balón golpea el lateral en el punto
$$\left(x_1,y_1\right)=\left(\frac{\tau-y_0}{\gamma_0+\tau},\gamma_0\frac{\tau-y_0}{\gamma_0+\tau}+y_0\right)$$
Habiendo recorrido una distancia de
$$\begin{align} d_0&=\sqrt{\left(\frac{\tau-y_0}{\gamma_0+\tau}\right)^2+\left(\gamma_0\frac{\tau-y_0}{\gamma_0+\tau}\right)^2}\\ &=\sqrt{(1+\gamma_0^2)\left(\frac{\tau-y_0}{\gamma_0+\tau}\right)^2} \end{align}$$
Rebota a lo largo de la línea
$$y-y_1=\gamma_1(x-x_1)$$
donde
$$\gamma_1=\tan(\theta_1)=\tan(154^\circ-\theta_0)$$
Ahora bien, si $\theta_0\ge64^\circ$ entonces $\theta_1\le90^\circ$ y el balón vuelve a salir después de 1 rebote, recorriendo una distancia adicional de
$$\begin{align} d_1&=\sqrt{x_1^2+\left(y_1-(\gamma_1(0-x_1)+y_1)\right)^2}\\ &=\sqrt{(1+\gamma_1^2)x_1^2}\\ &=\sqrt{(1+\gamma_1^2)\left(\frac{\tau-y_0}{\gamma_0+\tau}\right)^2} \end{align}$$
si $\theta_0\lt64^\circ$ El balón sigue entrando y golpeará al otro lado del punto.
- ¿Dónde va a impactar?
- ¿En qué ángulo rebotará?
- ¿Cuáles son los ángulos críticos para continuar o salir?
- Una vez que se dirija hacia fuera, ¿cuántas veces más rebotará?
Sabiendo cómo se comporta en el punto, cómo se comporta en el pentagrama es más fácil y luego da con otro punto.
Aclarar y repetir.
Nótese también que las condiciones iniciales y la simetría del problema $0\le\theta_0\le36^\circ$ y $y_0=\frac{\tan(26^\circ)}{tan(36^\circ)}\tan(\theta_0)$
