Creo que es 12 elige 3 menos 12, porque ese es el número de triángulos que comparten un lado con el polígono. ¿Es correcto?
¡Muy buena respuesta! +1
Respuestas
¿Demasiados anuncios?No tienes razón. Para cada lado del 12-gon, hay 12-4=8 vértices no adyacentes que puedes usar para formar un triángulo, así que hay 12*8=96 triángulos de este tipo. También están los triángulos que comparten dos lados con el 12-gon, de los cuales hay 12 (uno por cada vértice del 12-gon - elige los dos lados adyacentes al vértice). Así que hay 108 triángulos excluidos en total, y por lo tanto la respuesta es $\binom{12}{3}-108 = 220-108 = 112$ .
Esta figura muestra dos de los 8 triángulos posibles que comparten el borde derecho del 12-gon: 
Aquí hay otra forma de obtener la respuesta: Para que un triángulo no comparta una arista con el 12-gon, entre cada par de vértices del triángulo debe haber otro vértice del 12-gon. Numera los vértices del 12-gon del 1 al 12. Considera dos casos para un triángulo válido:
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El vértice 1 no está en el triángulo. En este caso, considere la posibilidad de obtener el 12-gon comenzando con un 9-gon y poniendo 3 vértices del triángulo entre los 9 vértices existentes. Hay $\binom{9}{3} = 84$ formas de hacerlo.
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El vértice 1 está en el triángulo. En este caso, considere la posibilidad de obtener el 12-gon comenzando con un 10-gon que consiste en el vértice 1 y los otros 9 vértices que no son vértices de triángulo. Entonces los 2 vértices de triángulo restantes pueden ir entre los vértices 2 y 3, 3 y 4, ..., 9 y 10, por lo que hay 8 lugares donde colocarlos. Hay $\binom{8}{2} = 28$ formas de hacerlo.
Cualquier triángulo válido cae en el caso 1 o 2, por lo que hay $84+28 = 112$ posibles triángulos.
Cuenta los triángulos que no quieres incluir, y luego resta esos triángulos "malos" del número total de triángulos, para obtener el número de triángulos "buenos". Primero tiene que contar el número de triángulos "malos" que tienen exactamente un lado con el 12-gon. Para ello, primero elige el lado compartido, que determina dos vértices del triángulo, y luego elige el tercer vértice. Hay 12 opciones para el lado compartido, y 8 para el último vértice (porque 2 vértices ya están en el lado, y otros 2 son adyacentes al lado). Esto da 12*8=96.
Joffan
Puntos
7855
Otro método, elegir los puntos del triángulo uno por uno y luego dividir por $6$ porque cada triángulo ha sido elegido $6$ veces (eligiendo los vértices en diferentes órdenes):
Elige el primer vértice. $12$ opciones.
Elige el segundo vértice.
- caso (a) un vértice siguiente-pero-uno: $2$ opciones
- caso (b) cualquier otro vértice: $7$ opciones
Elige el último vértice.
- en el caso (a): $7$ opciones
- en el caso (b): $6$ opciones
Esto da $12 \times (2\times 7 + 7\times 6) = 672$ opciones, entonces el número de triángulos es $ 672/6 = \fbox{112}$ .
La razón por la que el caso (a) da más opciones de selección para el tercer vértice es que el punto siguiente-pero-uno comparte un vecino con el primer punto.
