Creo que es 12 elegir 3 menos 12, porque ese es el número de triángulos que comparten un lado con el polígono. ¿Es eso correcto?
¡Muy buena respuesta! +1
Respuestas
¿Demasiados anuncios?No estás del todo en lo cierto. Para cada lado del 12-gon, hay 12-4=8 vértices no adyacentes que puedes usar para formar un triángulo, por lo que hay 12*8=96 triángulos de este tipo. También están los triángulos que comparten dos lados con el 12-gon, de los cuales hay 12 (uno para cada vértice del 12-gon--elige los dos lados adyacentes al vértice). Así que hay un total de 108 triángulos excluidos, y por lo tanto la respuesta es $\binom{12}{3}-108 = 220-108 = 112$.
Esta figura muestra dos de los 8 posibles triángulos que comparten el lado derecho del 12-gon: 
Aquí hay otra forma de obtener la respuesta: Para que un triángulo no comparta un lado con el 12-gon, entre cada par de vértices del triángulo debe haber otro vértice del 12-gon. Numerando los vértices del 12-gon del 1 al 12. Considera dos casos para un triángulo válido:
-
El vértice 1 no está en el triángulo. En este caso, considera obtener el 12-gon comenzando con un 9-gon y colocando 3 vértices del triángulo entre los 9 vértices existentes. Hay $\binom{9}{3} = 84$ formas de hacer esto.
-
El vértice 1 está en el triángulo. En este caso, considera obtener el 12-gon comenzando con un 10-gon que consiste en el vértice 1 y los otros 9 vértices que no son vértices del triángulo. Luego, los 2 vértices del triángulo restantes pueden ir entre los vértices 2 y 3, 3 y 4, ..., 9 y 10, por lo que hay 8 lugares para colocarlos. Hay $\binom{8}{2} = 28$ formas de hacer esto.
Cualquier triángulo válido cae en el caso 1 o 2, por lo que hay $84+28 = 112$ triángulos posibles.
Está contando los triángulos que no deseas incluir, luego restando esos triángulos "malos" del número total de triángulos, para obtener el número de triángulos "buenos". Primero tiene que contar el número de triángulos "malos" que tienen exactamente un lado con el 12-gon. Esto lo hace primero eligiendo el lado que se comparte, lo que determina dos vértices del triángulo, luego eligiendo el tercer vértice. Hay 12 opciones para el lado que se comparte, y 8 para el último vértice (porque 2 vértices están en el lado ya, y otros 2 son adyacentes al lado). Esto da 12*8=96.
Joffan
Puntos
7855
Otro método, eligiendo los puntos del triángulo uno por uno y luego dividiendo entre $6$ porque cada triángulo ha sido elegido $6$ veces (al elegir los vértices en diferentes órdenes):
Elija el primer vértice. $12$ opciones.
Elija el segundo vértice.
- caso (a) un vértice siguiente pero uno: $2$ opciones
- caso (b) cualquier otro vértice: $7$ opciones
Elija el último vértice.
- en el caso (a): $7$ opciones
- en el caso (b): $6$ opciones
Esto da $12 \times (2\times 7 + 7\times 6) = 672$ opciones, entonces el número de triángulos es $ 672/6 = \fbox{112}$.
La razón por la que el caso (a) da más opciones de selección para el tercer vértice es que el punto siguiente pero uno comparte un vecino con el primer punto.
