Estoy leyendo $U(1)$ abelian/axiales/quirales anomalía en 3+1 dimensiones utilizando la ruta método integral (Fujikawa). Me equivoco al suponer que la anomalía puede ser cancelado por la introducción de un contador plazo en el Lagrangiano de que exactamente cancela la anómala de la divergencia de la $U(1)$ axial actual? Fuentes bibliográficas disienten pero no puedo entender por qué es así. Cualquier referencia sería muy útil.
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Sora
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Este Bardeen counterterm es una bestia difícil de alcanzar, debo decir. Sin embargo, voy a compartir lo que he encontrado y entender:
Definir un $\mathrm{U}(1)$ teoría de gauge por escrito su acción en la mano izquierda y la mano derecha quirales spinors como
$$ S_{\mathrm{chiral}}[A] = \int \bar \psi_L (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A)\psi_L + \bar \psi_R (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A)\psi_R $$
y observar que, con $j = j_R+j_L$$j^5 = j^5_R - j^5_L$, tenemos
$$ \partial_\mu j^\mu = 0 \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{24\pi^2}F \wedge F = \frac{1}{12\pi^2}\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A$$
Ahora, esto parece darnos la anomalía directamente. Sin embargo, también podemos ver en la introducción de un campo auxiliar $B_\mu$, junto a la corriente circulante como
$$ S_{\mathrm{aux}}[A,B] = \int \bar \psi_L (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A + \not B)\psi_L + \bar \psi_R (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A - \not B)\psi_R$$
$B_\mu j^5_\mu$ es un invariante gauge operador, por lo que no debería arruinar nuestra teoría. Sin embargo, lo hace, como que uno encuentra por el Barrio de las identidades
$$ \partial_\mu j^\mu = \frac{1}{6\pi}\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}B \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{12\pi^2}(\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A + \mathrm{d}B\wedge\mathrm{d}B)$$ Esto nos inspira para agregar el Bardeen counterterm
$$S_{\mathrm{Bardeen}}[A,B] = \frac{1}{6\pi^2}\int A \wedge B \wedge \mathrm{d}A$$
a los auxiliares de la acción. Ahora, las corrientes de cumplir
$$ \partial_\mu j^\mu = 0 \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{4\pi^2}(\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A + \frac{1}{3}\mathrm{d}B\wedge\mathrm{d}B)$$
y hemos hecho que el invariante gauge perturbación por $B$ no destruir la invariancia gauge más. Por lo tanto, lo que hemos librado de a través de la counterterm es el indicador de la anomalía, no la axial anomalía. Tenga en cuenta que esto es de hecho una renormalization en el sentido usual de la palabra, ya que $A \wedge B \wedge \mathrm{d}A$ produce algunos de acoplamiento adicionales/diagramas de Feynman.
Lo más probable es que confunde es que muchas fuentes afirman que no hay local counterterm para el axial anomalía. Esto es totalmente cierto, ya que la $\int F \wedge F$ es un topológico plazo, la segunda clase de Chern, y por lo tanto no local. Usted podría agregar que a la acción para intentar matar a la axial anomalía, pero esto no sería un término local, y por lo tanto no es una buena cosa que hacer.
