Cómo probar$x \in H$

Question

Cómo probar eso

Deje H ser un subgrupo normal de un grupo finito G. Si$\gcd(|x|, |G/H|)$ = 1, muestre que$x \in H$.

Answer 1

Sugerencias:
1) Para cualquier$g\in G$,$ord(g)| |G|$ (divide)
2) Si$\varphi:G_1\to G_2$ es un homomorfismo grupal, entonces para todo$g\in G$,$ord_{G_2}(\varphi(g))|ord_{G_1}(g)$. En particular, esto es cierto para el homomorfismo canónico,$p:G\to G/H$
3) | G / H | = | G | / | H |

Answer 2

Puedes intentar probar:

1. El orden de la clase de$x$ en$G/H$ divide el orden de$x$ en$G$,
2. El orden de la clase de$x$ en$G/H$ divide el orden de$G/H$
3. El orden de la clase de$x$ en$G/H$ es$1$, de modo que$x\in H$.

Answer 3

Considere la secuencia$ x H, x^2 H, \dots, H$. La longitud de esta secuencia divide$|G/H|$ porque es un subgrupo cíclico. Por otro lado, también debe dividir$|x|$ desde$x^{|x|} H = H$ y la secuencia se repite. Por lo tanto, la duración de la secuencia es$1$ y, por lo tanto,$x \in H$.

Answer 4

Deje $n$ ser el orden de $x$$G$, y deje $k$ ser el orden de $xH$$G/H$.

Por Lagrange, $k$ divide $[G:H]=|G|/|H|=|G/H|$.

Ahora en $G/H$,$(xH)^n=x^nH=H$. Por lo $k$ divide $n$.

Conclusión: $k$ divide $[G:H]$ $n$ que son relativamente primos, por lo tanto $k=1$. Esto significa $xH=H$, es decir, $x$ pertenece a $H$.

Nota: la única que no sea trivial hecho de que hemos utilizado, además de Lagrange, es la siguiente. En un grupo de $\Gamma$, para cada elemento $x$, la $\{n\in\mathbb{Z}\;;\;x^n=e\}$ es un ideal en el $\mathbb{Z}$, por lo tanto, un director ideal. Decimos que $x$ tiene orden finito si este ideal es trivial. En este caso, el orden de $x$ se define como el positivo generador de este ideal. Que es el menor entero positivo $k$ tal que $x^k=e$. Ahora lo que se utiliza es obvio que con esta estructura ideal $$k\mathbb{Z}= \{n\in\mathbb{Z}\;;\;x^n=e\}$$ en la mente: si $x^n=e$ $k$ divide $n$.

Answer 5

Como$|x|$ y$|G/H|$ son relativamente primos, hay números enteros$u,v$, de modo que$|x|u + |G/H|v=1$.

Ahora muestre que$x^1\in H$ sustituyendo$1$.

Esto esencialmente implica mostrar que$x^{|G/H|}\in H$.