Número de ceros de una suma ponderada de exponenciales

Question

Sea $n$ un número entero. Sean $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ no todos nulos y $b_1 < \ldots < b_n$ números reales.

Sea $f : x \mapsto \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \exp(b_i x)$.

Estoy intentando demostrar que $f$ puede ser nulo en como máximo $n - 1$ puntos.

Lo que he intentado:

• Considerar derivadas / expansión en serie.
• Observar $f$ como una solución de una ecuación diferencial.
• Observar el caso trivial $n = 2$ pero no logré ver cómo hacerlo incluso para $n = 3$ (intenté inducción)
• Intenté suponer que habría más de $n$ ceros y traté de encontrar contradicciones con las derivadas.

Answer 1

El número de ceros es a lo sumo el número de cambios de signo en $a_i$. De hecho, si $S$ es el número de cambios de signo, entonces, en términos de multiplicidad, el número de ceros es $S$ menos algunos números pares.

Esto se conoce como la regla de signos generalizada de Descartes.

Fue demostrado por primera vez por Laguerre en 1883. El artículo original está en francés:

• E Laguerre, Sur la théorie des équations numériques, J. Math. Pures et Appl. 9 (1883)

Para una introducción moderna al mismo tema, consulta

• G.J.O Jameson, Contando ceros de polinomios generalizados: regla de signos de Descartes y las extensiones de Laguerre, (Math. Gazette 90, no. 518 (2006), 223-234).
  Se puede encontrar una copia en línea aquí.

Answer 2

En una palabra: factoriza y luego diferencia. Usaré inducción en $n$ para demostrar que "para todo $a_1,...,a_n \in \mathbb{R}$ y para $b_1,..., b_n \in \mathbb{R}$, $x \mapsto \sum \limits_{i=1}^n a_i \exp(b_i x)$ tiene a lo sumo $n-1$ raíces o es nula.

Caso base: para $n=1$, si $f$ tiene una raíz entonces es la función cero.

Inducción: consideremos $n \in \mathbb{N}$ y supongamos que la propiedad es válida para todos los $n$-uplas de números reales. Consideremos $a_1,...,a_{n+1}$ y $b_1,...,b_{n+1}$. Supongamos que $f : x \mapsto \sum \limits_{i=1}^{n+1} a_i \exp(b_i x)$ tiene $n+1$ ceros distintos. Mostraremos que $f$ es cero. Primero factorizamos por $\exp(b_{n+1} x)$: la función $g : x \mapsto \sum \limits_{i=1}^n a_i \exp\big((b_i-b_{n+1}) x\big) + a_{n+1}$ tiene $n+1$ ceros. Diferenciando y utilizando el teorema de Rolle, obtenemos que $g':x \mapsto \sum \limits_{i=1}^n a_i (b_i-b_{n+1}) \exp\big((b_i-b_{n+1}) x\big)$ tiene $n$ ceros. La hipótesis de inducción implica que $g' = 0$, entonces $g(x)=C$ es constante y luego $f(x) = C \exp(b_{n+1}x)$. Dado que $f$ tiene al menos un cero, concluimos que $f = 0.