La inducción matemática desigualdad que involucra los senos

Question

Deje $0<A_i<\pi$$i=1,2,3,\ldots,n$. Use inducción matemática para demostrar que $$\sin A_1+\sin A_2+\cdots+\sin A_n\le n \sin\left(\frac{A_1+A_2+A_3+\cdots+A_n} n\right)$$ where $n\ge 1$ es un número natural.`

La desigualdad es cierto para $n=1$. Supuse que no vale para $n=k$. Pero yo era incapaz de demostrar que vale para $n=k+1$. Por favor me ayude.

Answer 1

Recordemos que la función seno es Cóncava en a$[0,\pi]$, de modo que para cualquier de los puntos de $x$ $y$ $[0,\pi]$ y cualquier valor de $t\in(0,1)$, tenemos

$$\sin(tx+(1-t)y)\ge t\sin x+(1-t)\sin y \tag 1$$

Ahora, dejando $x=\frac1n\sum_{i=1}^{n}A_i$, $y=A_{n+1}$, $t=\frac{n}{n+1}$ y $1-t=\frac{1}{n+1}$$(1)$, tenemos

$$\begin{align} \sin\left(\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}A_i\right)&=\sin\left(\frac{n}{n+1}\left(\frac1n\sum_{i=1}^{n}A_i\right)+\frac{1}{n+1}A_{n+1}\right)\\\\ &\ge \frac{n}{n+1}\sin\left(\frac1n\sum_{i=1}^{n}A_i\right)+\frac{1}{n+1}\sin\left(A_{n+1}\right) \tag 2 \end{align}$$

Es importante tener en cuenta que el $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}A_i\in[0,\pi]$.

A continuación, se nos podría aplicar la desigualdad en $(2)$ a la suma en el lado derecho de la $(2)$ y a través de un proceso recursivo de llegar a la deseada desigualdad.

Pero el OP preguntó específicamente para mostrar que la desigualdad de interés a través de la inducción. Así que, a tal fin, hemos de establecer una base de caso. El uso de $(1)$$t=1/2$, vemos que

$$2\sin \left(\frac{A_1+A_2}{2}\right)\ge \sin A_1+\sin A_2$$

Siguiente, suponemos que para algunos entero $n$, tenemos

$$n\,\sin\left(\frac1n\sum_{i=1}^{n}A_i\right)\ge \sum_{i=1}^{n}\sin(A_i) \tag 3$$

El uso de $(3)$ $(2)$ revela

$$\begin{align} \sin\left(\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}A_i\right)&\ge \frac{n}{n+1}\left(\frac1n \sum_{i=1}^{n}\sin(A_i)\right)+\frac{1}{n+1}\sin\left(A_{n+1}\right)\\\\ &=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}\sin(A_i) \tag 4 \end{align}$$

donde después de multiplicar $(4)$ $n+1$ rendimientos el deseo resultado.