Explícito cálculo de un grupo de Galois

Question

Deje $E$ ser la división de campo de la $x^6-2$$\mathbb{Q}$. Mostrar que $Gal(E/\mathbb{Q})\cong D_6$, el diedro grupo de el hexágono regular.

He demostrado que $E=\mathbb{Q}(\zeta_6, \sqrt[6]{2})$ donde $\zeta_6$ es un (fijo) primitiva sexto de la raíz de la unidad, y por lo tanto que la $[E:\mathbb{Q}]=12$.

Me estoy poniendo un poco mezclado trabajando fuera de los automorfismos, aunque. Sé que el grupo de Galois es determinado por la acción de los generadores $\zeta_6$$\sqrt[n]{2}$. Así que, a continuación, las posibilidades parecen ser las siguientes: \begin{align*}\sqrt[6]{2}&\mapsto\zeta_6^n\sqrt[6]{2}\;\;\;\mbox{ for } n=0,1,\ldots ,5 \\ \zeta_6&\mapsto \zeta_6^j\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{ for } j=1,5\,.\end{align*}

¿Esto tiene sentido? Algo no acaba de sentirse a la derecha, pero no estoy seguro de que el problema puede ser. Sé que, en cierto sentido, los generadores son "independientes", porque definitivamente no puedo conseguir un generador de la otra. (Por ejemplo, sería diferente si tuviéramos cuarto raíces de la unidad, ya que podría obtener a $\sqrt{2}$ de ambos generadores.)

Cualquier ayuda se aprecia

Answer 1

Por definición, de la división de campo, que es generado por las raíces de $x^6 - 2$. Estas raíces se forman los vértices de un hexágono regular en el plano complejo. Cualquier elemento del grupo de Galois debe permutar las raíces, y está totalmente determinado por lo que hace a las raíces, ya que la división del grupo es generada por ellos.

Deje $\sigma$ ser un elemento del grupo de Galois. Ahora considere lo que sucede a dos vértices adyacentes, $\zeta_6^i\sqrt[6]{2}$$\zeta_6^{i+1}\sqrt[6]{2}$. Considerando $$\frac{\zeta_6^{i+1}\sqrt[6]{2}}{\zeta_6^{i}\sqrt[6]{2}} = \zeta_6,$$ la acción de la $\sigma$ en los dos vértices adyacentes determina la acción en $\zeta_6$. Desde $\zeta_6$ satisface $\Phi_6(x) = x^2-x+1$, la imagen de $\zeta_6$ debe ser otra raíz de $x^2-x+1$, el cual es $\zeta_6$ o $\zeta_6^5$, como nota. Y si usted sabe lo que sucede a$\zeta_6^i\sqrt[6]{2}$$\zeta_6$, entonces usted sabe lo que sucede a$\sqrt[6]{2}$. Y por supuesto, si usted sabe lo que sucede a ambos de estos, entonces usted sabe lo que sucede a los vértices adyacentes $\sqrt[6]{2}$$\zeta_6\sqrt[6]{2}$. Por lo que conocer la acción en al menos dos vértices adyacentes es equivalente a conocer la acción en $\sqrt[6]{2}$ y en $\zeta_6$, y viceversa, y esto a su vez le dice a usted lo que está sucediendo en todos los vértices. Esto demuestra que lo que dice es correcto.

Ahora, para rematar, tratar de mostrar que dos vértices son adyacentes siempre se asignan a dos vértices adyacentes, de manera que cualquier permutación del hexágono inducida por $\sigma\in\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$ es en realidad un rígido movimiento de la hexagonal. Esto mostrará el grupo de Galois es la contenida en el diedro del grupo, y el cálculo de la orden, que ya se ha hecho, va a acabar con el problema.