Cómo construir un subconjunto denso digamos $A$ ¿De los números reales que no son racionales? Por denso quiero decir que debe haber un elemento de $A$ entre dos números reales cualesquiera.
Primero hay que tener en cuenta que se puede "hacer trampa" tomando cualquier subconjunto y tomar una unión con los racionales.
En segundo lugar, ten en cuenta que siempre puedes hacer trampa tomando algún número real $x$ y considerando el conjunto $\{x+q\mid q\in\mathbb Q\}$ . Si $x$ es irracional entonces el conjunto no es los racionales.
Ahora más en serio, se puede notar que los irracionales ( $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ ) son densos, así como todos los números algebraicos irracionales ( $\sqrt2$ y demás). Más interesante es el conjunto $\{\sin n\mid n\in\mathbb N\}$ es denso en $[0,1]$ para que se pueda estirar (o multiplicar) en un conjunto denso de $\mathbb R$ .
Sin embargo, un hecho importante es que todo orden lineal denso contable es isomorfo a los racionales, por lo que si su conjunto denso es contable no diferirá demasiado de los racionales.
Tome cualquier número irracional $\alpha$ y considerar el conjunto $E = \{n\alpha \bmod 1\ : n \in \mathbb{N}\}$ . Por el teorema de la equidistribución este conjunto está uniformemente distribuido (y por tanto debe ser denso) en $[0,1]$ . Para un conjunto denso en todos los $\mathbb{R}$ toma $\cup_{n \in \mathbb{Z}} (n + E)$ .
Construyamos conjuntos densos en $[0,1]$ . Podemos entonces obtener un conjunto denso en $\Bbb R$ tomando la unión de conjuntos densos para los intervalos $[n, n+1]$ (un conjunto denso para $[n,n+1]$ puede obtenerse a partir de un conjunto denso de $[0,1]$ por desplazamiento). Para hacer las cosas más interesantes, encontraremos conjuntos densos para los que, dados dos elementos distintos del conjunto, hay un número entre ellos que no está en el conjunto.
Para un conjunto denso en $[0,1]$ puedes tomar:
Los irracionales en $[0,1]$ .
O bien: tomar $[0,1]$ . Toma su punto medio $1/2$ para que sea un elemento del conjunto denso, por construir. Entonces se toman los puntos medios de $(0,1/2)$ y $(1/2,1)$ sean elementos del conjunto de sentido. A continuación, tome los puntos medios de los cuatro conjuntos obtenidos al dividir los dos conjuntos anteriores en dos...
O bien: utilice cualquier construcción similar a la del ejemplo anterior, hecha con cuidado. Por ejemplo, podría dividir sucesivamente $[0,1]$ como en el caso anterior (siempre dividiendo los conjuntos anteriores por la mitad), pero eligiendo irracionales en cada pieza.
El Números de Liouville son densos en $\mathbb{R}$ .
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¿Qué tal si $\mathbb R$ ?
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Añade algún número irracional -Pi, por ejemplo- a cada racional.
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¿Qué tal si $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ?
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Una pregunta interesante surge cuando se si hay un denso en $R$ medible tal que $m(A\cap I)=1/2 |I|$ para cualquier intervalo esta propiedad también nos dice que el complemento es un conjunto del mismo tipo.
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Si entiendo su comentario, que para cualquier $I$ , $m(A\cap I) = 1/2 |I|$ , entonces esto es imposible por el Teorema de la Densidad de Lebesgue.