Creo que el primer hecho útil que hay que aclarar es que hay dos diferentes tipos de fases topológicas: existen las llamadas Fases topológicas de simetría protegida (SPT) (que muestran un "orden topológico protegido por la simetría") y existen (intrínsecamente) Fases topológicas (que muestra el "orden topológico (intrínseco)"). Algunos ejemplos rápidos: los aislantes topológicos y los superconductores topológicos son ejemplos de los primeros, mientras que los estados Hall cuánticos y varios líquidos de espín son ejemplos de los segundos.
No existen definiciones unívocas con las que todo el mundo esté de acuerdo, pero ambas tienen características claras. Pero permítanme hacer primero una observación diferente, para aclarar tanto la similitud como la diferencia con las fases más habituales de ruptura espontánea de simetría: todas las fases caracterizadas por la ruptura espontánea de simetría están también protegidas por simetría ¡! Tomemos por ejemplo el modelo cuántico 1D Ising $$H = \sum_n (- \sigma^z_n \sigma^z_{n+1} + g \sigma^x_n)$$ Este hamiltoniano de espín tiene un $\mathbb Z_2$ simetría definida por la inversión del espín en el $z$ -y, como es bien sabido, el estado básico rompe espontáneamente esta simetría para $g <1$ en este caso denominada fase ferromagnética. Ahora, esta fase es estable bajo perturbaciones arbitrarias con la condición de que estas perturbaciones respeta esto $\mathbb Z_2$ simetría . En cuanto añada, por ejemplo, un término $h \sigma^z$ entonces la fase ferromagnética ya no está bien definida, o dicho de otro modo: ya no está protegida, lo que significa que puedes deformar continuamente el Hamiltoniano y el estado básico para convertirte en un paramagneto trivial sin encontrar ninguna transición de fase. Así que, en cierto sentido, siempre que se produzca una ruptura espontánea de simetría, deberíamos llamarla Simetría protegida Ruptura espontánea de la simetría . Sin embargo, eso sería una redundancia en la descripción, ya que cualquier ruptura espontánea de simetría necesita dicha protección de simetría.
Eso es diferente para las fases topológicas: algunas fases son, como tú dices, estables bajo perturbaciones arbitrarias. Es decir, no se puede conectar la fase a una fase trivial(*) sin encontrar una transición de fase. Son las llamadas fases topológicas (intrínsecas). Así que esto es un juego completamente diferente, y en cierto modo es notable que tales fases existan. La razón intuitiva es que estas fases tienen un entrelazamiento de largo alcance en el estado base (lo que significa que los puntos más alejados del sistema pueden estar fuertemente entrelazados entre sí), y no se puede deshacer dicho entrelazamiento con meras perturbaciones locales. Este entrelazamiento de largo alcance es también la causa de muchas consecuencias físicas interesantes. En particular, estas fases topológicas intrínsecas tienen excitaciones de baja energía muy interesantes (aquí surge el concepto de "fraccionalización": a baja energía el sistema se comporta como si hubiera partículas exóticas, más complejas que las partículas reales que componen el sistema a un nivel más fundamental). Hay dos razones conceptuales por las que estas fases se denominan ' topológico (1) en el tratamiento matemático de estas fases, el campo matemático de la topología aparece a menudo (por ejemplo, en el contexto de la teoría de baja energía que es una teoría cuántica de campos topológica, o por el parámetro de orden de la fase que es un cierto invariante topológico); (2) en un nivel más mundano, el sistema se comporta de manera diferente si se coloca en espacios con topología diferente: el sistema, por ejemplo, se comporta de manera diferente si se coloca en una losa abierta (por ejemplo, un rectángulo) frente a un toro (es decir, sin límites). Tanto (1) como (2) están asociados al hecho de que tales fases topológicas tienen fenómenos interesantes en sus límites físicos.
El párrafo anterior se centraba más en dichas fases con orden topológico intrínseco, en las que la simetría no es tan importante (aunque hay formulaciones interesantes del orden topológico en las que aparece la simetría, pero eso sería divagar demasiado). Como ya se ha mencionado, también hay fases topológicas protegidas por la simetría: éstas tienen más entrelazamiento de corto alcance, y al igual que las fases que rompen la simetría, las fases sólo están bien definidas si el Hamiltoniano tiene una cierta simetría. Sin embargo, el estado básico no rompe esta simetría espontáneamente. En su lugar, el sistema se comporta "topológicamente" en el sentido anterior: a menudo la topología aparece en su descripción matemática, y se producen efectos peculiares alrededor del límite (como los bordes sin huecos de los aislantes topológicos). La principal diferencia física entre las fases topológicas intrínsecas y las protegidas por la simetría es que las primeras tienen un comportamiento fascinante en la masa (es decir, lejos de los límites), mientras que las segundas tienen un comportamiento fascinante en la masa (es decir, lejos de los límites). lejos de los límites), en forma de cuasipartículas exóticas/fraccionarias, mientras que la segunda (que son las fases topológicas de simetría protegida) no tiene mucho que hacer en el grueso, y la física principalmente interesante está en el límite (sin embargo, tiene alguna estructura interesante en el entrelazamiento del grueso -a pesar de que el entrelazamiento es de corto alcance- pero esto es bastante difícil de medir físicamente).
Espero que esto le ofrezca una visión general de lo que preguntaba. Avíseme si puedo aclararle algo más.
(*) Cabe preguntarse cómo se define la noción de "fase trivial". Una buena regla general es: una fase es trivial si no se puede decir nada interesante sobre ella.
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Tomemos un ejemplo, y digamos que la fase topológica está protegida en virtud de la simetría tiempo-reversión. Si aplicamos, por ejemplo, un campo magnético, la protección topológica se rompe, ya que el campo magnético rompe la simetría de inversión temporal. Eso es todo. En la práctica, significa que la teoría de perturbaciones de primer orden en el campo magnético dividiría la degeneración del estado fundamental, o el cruce de energía cero si lo prefiere.