Diferenciar la función: $y=2x \log_{10}\sqrt{x}$

Question

$y=2x\log_{10}\sqrt{x}$

Resuelve usando: Regla del producto $\left(f(x)\cdot g(x)\right)'= f(x)\cdot\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\cdot \frac{d}{dx}f(x)$

y $\frac{d}{dx}(\log_ax)= \frac{1}{x\ \ln\ a}$

$(2x)\cdot [\log_{10}\sqrt{x}]'+(\log_{10}\sqrt{x})\cdot [2x]'$

$y'=2x\frac{1}{\sqrt{x}\ln 10}+\log_{10}\sqrt{x}\cdot 2$

La respuesta en el libro es $y'= \frac{1}{\ln10}+\log_{10}x$

Answer 1

Su derivado de $\log_{10} \sqrt{x}$ es incorrecto. Te recomiendo que vuelvas a intentarlo y publiques aquí tu trabajo para que te lo corrijan si te ocurre lo mismo.

Answer 2

Pista: Deberá utilizar la regla de producto con $2x$ y la función logarítmica.

A continuación, mientras se aplica la regla del producto, se utiliza la regla de la cadena sobre la función logarítmica.

Aviso: diferenciar $\log_a f(x)$ te da (aquí es donde cometiste tu error) $$(\log_a f(x))' = \frac{f'(x)}{\ln a \cdot f(x)}$$

Utilícelo con $f(x) = \sqrt{x}$ . De hecho, deberías conseguir $$\bbox[border: solid blue 1px, 10px]{(\log_{10} \sqrt{x})' = \frac{1}{2x \ln 10}}$$

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Solución completa:

Por lo tanto, utilizando la regla del producto tenemos la derivada como $$2x \cdot \frac{1}{2x \ln 10} + 2 \cdot \frac{1}{2x \ln 10} = \frac{1}{\ln 10} + \frac{1}{x \ln 10}$$

Answer 3

$$\log\sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_{10} x= \frac{\ln x}{2\ln 10}$$

$$\frac{d}{dx}\ln x= \frac{1}{x}$$

utilizando la regla de la cadena,

$$\frac{d}{dx}\left(2x\log\sqrt{x}\right)= 2x \frac{dx}{dx}\frac{\ln x}{2\ln 10} + \frac{\ln x}{2\ln 10}\frac{d}{dx} 2x $$

$$=\frac{2x}{2x\ln 10} + \frac{2\ln x}{2\ln 10} $$

$$ =\frac{1}{\ln 10}+ \log_{10} x$$

Nótese el cambio de base: $$\log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10} $$

Answer 4

Aviso, $$\frac{d}{dx}(\log_{a}(x))=\frac{d}{dx}(\log_{a}(e)(\log_{e}(x)))$$ Ahora, tenemos $$y=2x\log_{10}\sqrt{x}$$ $$\implies y=x\log_{10}(\sqrt{x})^2$$ $$\implies y=x\log_{10}(x)$$ $$\implies y=x\log_{e}(x)\times \log_{10}(e)$$ $$\implies \frac{dy}{dx}=\log_{10}(e)\frac{d}{dx}\left(x\log_{e}(x)\right)$$ $$\implies \frac{dy}{dx}=\log_{10}(e)\left(x\frac{1}{x}+(1)\log_{e}(x)\right)$$ $$\implies \frac{dy}{dx}=\log_{10}(e)+\log_{10}(e)\times \log_{e}(x)$$ $$\implies \frac{dy}{dx}=\log_{10}(e)+\log_{10}(x)$$ $$\implies \frac{dy}{dx}=\log_{10}(ex)$$

Answer 5

En primer lugar, tenga en cuenta que $$\log_{10} \sqrt{x} = \dfrac{1}{2} \log_{10} x$$

Entonces tenemos que $$ \begin{aligned} f(x) = \log_{10} (x) & \iff 10^{f(x)} = x \\ & \implies f(x) \log 10 = \log x \\ & \implies \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} f(x) \log 10 = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \\ & \implies f'(x) \log 10 = \dfrac{1}{x} \\ & \implies f'(x) = \dfrac{1}{x \log 10} \end{aligned} $$

Utiliza la regla del producto y obtendrás la respuesta.

(Obsérvese que el método anterior para hallar la derivada se aplica a cualquier base arbitraria $0 < a \in \mathbb{R}$ )