Una de Hilbert base para $L^2 ([0,1]\times[0,1])$

Question

Deje $\{f_n(x)\}$ $\{g_n(x)\}$ dos Hilbert base de $L^2 ([0,1])$ $\{g_n(x)f_k(y)\}$ es una base de Hilbert para $L^2 ([0,1]\times[0,1])$.

Obs.:

Que es Ortogonal, y unitaria es lo probé con un uso ligero de Fubini-Tonelli.

Sólo faltan en la densidad de la parte del intervalo.

Answer 1

Denotar por $\mathfrak{M}([0,1])$ $\sigma$- álgebra de Lebesgue medibles funciones. El espacio de $S([0,1])=\operatorname{span}\{1_{A\times B}:A\in\mathfrak{M}([0,1]),B\in\mathfrak{M}([0,1])\}$ es denso en $L^2([0,1]\times[0,1])$ Desde $\{f_n(y)\}_{n=1}^\infty$, $\{g_n(x)\}_{n=1}^\infty$ son la base de la $L^2([0,1])$ puede aproximar cada función en $S([0,1])$ por lineal combiantions de funciones $f_n(y)g_k(x)$. Así $$ \operatorname{Closure}\left(\operatorname{span}\{f_n(y)g_k(x)\}_{n=1,k=1}^{\infty,\infty}\right)=\operatorname{Closure}(S[0,1])=L^2([0,1]\los tiempos de [0,1]) $$