Convergencia uniforme de $f_n(x)=x^n(1-x)$

Question

Necesito mostrar que $f_n(x)=x^n(1-x)\rightarrow0 $ es uniformemente en $[0,1]$ ($\forall\epsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n>N: \|f_n-f\|<\epsilon$)

He tratado de encontrar el máximo de $f_n$, debido a que: $$\|f_n-f\|=\sup_{[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=\max\{f_n(x)\}.$$

Así que si se investiga el valor máximo de $f_n(x)$, obtenemos:

$$f_n'(x)=0\Rightarrow x_\max=\dfrac{n}{n+1}.$$

Por lo tanto,$\|f_n\|=f_n\left(\frac{n}{n+1}\right)=\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$. Y aquí me quedo atascado. ¿Cómo puedo obtener $\|f_n\|<\epsilon$

Answer 1

Bien, $\dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\dfrac1{n+1}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n}\leqslant\dfrac1{n+1}$.

Answer 2

$$\dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\times\dfrac{1}{n+1}\to\dfrac{1}{e}\times 0$$

Answer 3

El $f_n$ secuencia está disminuyendo, $[0, 1]$ es compacto, función constante es continua, por lo que el resultado se sigue inmediatamente de la Dini del teorema.