Para cada cerrado no vacío subconjunto $A\subseteq [-M,M]^n$ no es una secuencia finita de conjuntos de $F_n\subseteq [-M,M]^n$ tal que $d_H(F_n,A)\to 0$ donde $d_H$ es la métrica de Hausdorff. (Prueba: vamos a $F_n$ ser finito $(1/n)$-netos en $A$, que existe por la compacidad.) Así, el resultado no es cierto como usted cree. Para otro ejemplo, tomar un subconjunto $A$ con suavidad pero con wiggly límite, por lo que el área de la superficie de $\partial A$ es grande. A continuación, el $\epsilon$-barrio de $A$ tendrá el volumen considerablemente mayor que el volumen de $A$, en comparación con $\epsilon$.
El segundo ejemplo se sugiere qué hacer. En lugar de imponer un límite de diámetro (que es lo que hizo), imponer un límite de superficie. La conveniente noción de área de la superficie a utilizar aquí es el contenido de Minkowski
$$\lambda(\partial A)=\liminf_{\delta\to 0}\delta^{-1}(\mu(A_\delta)-\mu(A))\tag1$$ where $A_\delta$ is the closed $\delta$ neighborhood of $$ and $\mu$ is the $n$-dimensional Lebesgue measure. For not-too-weird sets this is the same as the area of $\parcial$.
La reclamación. Deje $A$ ser un compacto no vacío es subconjunto de a$\mathbb R^n$$\mu(A)>0$. A continuación, para todos los $\delta>0$
$$\mu(A_\delta)\le \left(1+\delta\,\frac{\lambda(\partial A)}{n\,\mu(A)}\right)^n\mu(A)\tag2$$
Usted puede utilizar (2) para estimar el $|\mu(A)-\mu(B)|$, debido a $A\subseteq B_\delta$ $B\subseteq A_\delta$ al $\delta$ es la distancia de Hausdorff entre el$A$$B$.
Prueba. Elija un número de $\lambda'>\lambda(\partial A)$. Considere la función
$$f(t)=(\mu(A_\delta)/\mu(A))^{1/n},\quad t\ge 0$$
Por el Brunn-Minkowski teorema $f$ es cóncava.
Tenga en cuenta que $f(0)=1$. De acuerdo a (1), no existe $\delta\in (0,d)$ tal que $\mu(A_\delta)<\mu(A)+\delta\lambda'$, y por lo tanto
$$f(\delta)\le (1+\delta\lambda'/\mu(A))^{1/n}\le 1+\frac{\delta\lambda'}{n\,\mu(A) } \tag3$$
Tenga en cuenta que (3) también lleva a cabo con $\delta=0$. Desde el lado derecho de (3) es una función afín, majorizes la función cóncava $f $$[\delta,\infty)$. En particular,
$$f(d) \le 1+\frac{d\, \lambda'}{n\,\mu(A) } \tag4$$
lo que demuestra (2) por $\lambda'>\lambda(\partial A)$ fue arbitraria. $\Box$
La aparición de $\mu(A)$ en el denominador en (2) es desagradable. Un hackish forma de evitar esto es aplicar (2) a la inconexión de la unión de $A$ y una bola cerrada de radio $r$ (a elegir). Denota esta unión por $A'$,$\mu(A')=\mu(A)+\mu(B_r)$$\lambda(\partial A')=\lambda(\partial A)+\lambda(\partial B_r)$. Enchufe esta en (2) y minimizar con respecto a $r$... o simplemente $r=\delta$ si minimización es duro. Debería haber un canónica, sharp, estimación
$$\mu(A_\delta)\le F(\mu(A),\lambda(\partial A),\delta) \tag{?}$ $ , pero yo no recuerdo haber visto tal cosa.
