Grupo de orden $1575$ tener una silueta normal $3$ subgrupo es abeliano.

Question

La cuestión es demostrar que :

Si un grupo $G$ con $|G|=1575=3^2\cdot5^2\cdot 7$ tiene un sylow normal $3$ subgrupo entonces :

• sylow $5$ el subgrupo es normal
• sylow $7$ el subgrupo es normal

En esta situación, demuestre que $G$ es abeliana.

Todo lo que puedo hacer es :

Si sylow $3$ subgrupo,sylow $5$ subgrupo,sylow $7$ subgrupo es normal entonces $G$ es abeliana.

Notación : $P_3$ para sylow $3$ subgrupo ; $P_5$ para sylow $5$ subgrupo; $P_7$ para sylow $7$ subgrupo

Sabemos que :

Para $H\leq G$ el grupo cociente $N_G(H)/C_G(H)$ es isomorfo a un subgrupo de $\text{Aut(H)}$ .

• Como $P_3\unlhd G$ tenemos $N_G(P_3)=G$
• Como $P_5\unlhd G$ tenemos $N_G(P_5)=G$
• Como $P_7\unlhd G$ tenemos $N_G(P_7)=G$

Así, tendremos

El grupo cociente $G/C_G(P_i)$ es isomorfo a un subgrupo de $\text{Aut($ P_i $)}$ para $i=3,5,7$ .

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En caso de $P_3$ tenemos $G/C_G(P_3)\cong M \leq \text{Aut($ P_3 $)}$

Ahora, $|P_3|=3^2$ Así que.., $|\text{Aut($ P_3 $)}|=3(3-1)=6$

Como $C_G(P_3)\leq G$ vemos que $|C_G(P_3)|$ divide $|G|$ con la condición $|G/C_G(P_3)|$ divide $6$ .

Como $P_3$ es abeliano tenemos $H\leq C_G(P_3)$ Así que.., $G/C_G(P_3) \leq G/P_3$

es decir, $G/C_G(P_3)\leq G/P_3$ es decir, $|G/C_G(P_3)|$ divide $|G/P_3|=5^2\cdot7$

ya tenemos una condición que $|G/C_G(P_3)|$ divide $6$ .

Pero, $6$ y $5^2.7$ no tienen un factor común más que $1$ Así que.., $|G/C_G(P_3)|=1$

es decir, $C_G(P_3)=G$ es decir, $P_3\leq Z(G)$ .

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En caso de $P_5$ tenemos $G/C_G(P_5)\cong M \leq \text{Aut($ P_5 $)}$

Ahora, $|P_5|=5^2$ Así que.., $|\text{Aut($ P_5 $)}|=5(5-1)=20$

Como $C_G(P_5)\leq G$ vemos que $|C_G(P_5)|$ divide $|G|$ con la condición $|G/C_G(P_5)|$ divide $20$ .

Como $P_5$ es abeliano tenemos $H\leq C_G(P_5)$ Así que.., $G/C_G(P_5) \leq G/P_5$

es decir, $G/C_G(P_5)\leq G/H$ es decir, $|G/C_G(P_5)|$ divide $|G/P_5|=3^2\cdot7$

ya tenemos una condición que $|G/C_G(P_5)|$ divide $20$ .

Pero, $20$ y $3^2.7$ no tienen un factor común más que $1$ Así que.., $|G/C_G(P_5)|=1$

es decir, $C_G(P_5)=G$ es decir, $P_5\leq Z(G)$ .

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En caso de $P_7$ tenemos $G/C_G(P_7)\cong M \leq \text{Aut($ P_7 $)}$

Ahora, $|P_7|=7$ Así que.., $|\text{Aut($ P_3 $)}|=(7-1)=6$

Como $C_G(P_7)\leq G$ vemos que $|C_G(P_7)|$ divide $|G|$ con la condición $|G/C_G(P_7)|$ divide $6$ .

Como $P_7$ es abeliano tenemos $H\leq C_G(P_7)$ Así que.., $G/C_G(P_7) \leq G/P_7$

es decir, $G/C_G(P_7)\leq G/P_7$ es decir, $|G/C_G(P_7)|$ divide $|G/P_7|=3^2\cdot7$

ya tenemos una condición que $|G/C_G(P_7)|$ divide $6$ .

Ahora hay un problema....

No puedo utilizar los mismos argumentos que he utilizado para $P_3$ y $P_5$ como $3$ no divide $6$ y $3^2.7$ .

Por lo tanto, no puedo concluir inmediatamente $|G/C_G(P_7)|=1$ es decir, $G=C_G(P_7)$ es decir, $P_7\leq Z(G)$ .

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Asumiendo que he probado $P_i\leq Z(G)$ para $i=3,5,7$

No se necesitaría mucho tiempo para concluir $G=Z(G)$

Como $P_i\cap P_j =\{e\}$ para $i\neq j$ y $i,j\in \{3,5,7\}$ vemos que $G=\langle P_3,P_5,P_7\rangle$

Pero entonces $P_i\leq Z(G)$ para $i=3,5,7$ es decir, $G =\langle P_3,P_5,P_7\rangle \leq Z(G)$

es decir, $G=Z(G)$ lo que significa $G$ es abeliana.

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Por lo tanto, he terminado en más de $40$ por ciento del problema dejando la posibilidad de $|G/C_G(P_7)|=3$ y no entiendo muy bien como hacer uso de $P_3$ siendo Normal para concluir $P_5$ y $P_7$ son normales.

No estoy seguro del procedimiento pero tengo algo que decir sobre $P_5$ ser normal :

Como $P_3$ es normal puedo considerar $G/P_3$ con $|G/P_3|=5^2.7$

Entonces, si veo este grupo como algo llamado $M$ Este subgrupo tiene

• un silo $5$ subgrupo y
• un silo $7$ subgrupo.

Pero la condición $n_5=1+5k$ dividiendo $7$ da la única posibilidad de que $n_5=1$

Lo que significa que sylow $5$ subgrupo de $M$ (Me gustaría poder hacer esto como $P_5$ ) es normal.

Con una razón similar $n_7=1+7k$ dividiendo $5^2$ da la única posibilidad de que $n_7=1$

Lo que significa que sylow $7$ subgrupo de $M$ (Me gustaría poder hacer esto como $P_7$ ) es normal.

Así que supongo que he terminado hasta $60$ por ciento.

No estoy muy seguro de cómo hacer uso de (creer que puedo hacer uso de )sylow $5$ subgrupo, sylow $7$ subgrupo de $M$ siendo normal concluir $P_5$ y $P_7$ son normales.

Agradecería si alguien me puede ayudar a aclarar dos lagunas en este :

• Cómo deshacerse de $|G/C_G(P_7)|=3$ .
• Cómo utilizar el sylow $5$ subgrupo, sylow $7$ subgrupo de $M$ siendo normal concluir $P_5$ y $P_7$ son normales.

Por favor, ayúdenme a eliminar estas lagunas.

Gracias.

P.D: Por favor, dé "sólo pistas". No escriba toda la respuesta de una vez. Esto es una "petición". Gracias :)

Answer 1

Sugerencia: Retirar los subgrupos de Sylow de $G/P_3$ que son normales, y utilizar el hecho de que si un subgrupo Sylow es normal entonces es característico.

Answer 2

Si $|G/C(P_7)|=3$ entonces $|C(P_7)|=3.5^2.7$ ahora $3^2$ divide $|Z(G)|$ y $5^2$ divide $|Z(G)|$ así que $|Z(G)|$ es mayor o igual que $3^2.5^2$ así que $|Z(G)|=3^2.5^2$ o $3^2.5^2.7$ pero $Z(G)$ es un subgrupo de $C(P_7)$ así que $|Z(G)|$ divide $|C(P_7)|$ pero en cualquier caso $|Z(G)|$ no puede dividir $|C(P_7)|$ Así que $|C(P_7)|$ no puede ser $3$ Así que $=1$ .por lo tanto $|G/C(P_7)|=1$ y $P_7$ está contenida en $Z(G)$ Por lo tanto $G$ es abeliana.