¿Qué característica de los polinomios de caracterizar?

Question

Deje $R$ integrante de dominio y $F$ un finitely libres generados por el módulo de más de $R$. Para una transformación lineal $\alpha\in\operatorname{End}_R(F)$, el polinomio característico es \begin{equation} p_\alpha(t)=\det(t-\alpha)\in R[t]. \end{equation}

Similar transformaciones tienen el mismo polinomio característico. Sin embargo, estos polinomios no caracterizar similitud, en el sentido de que no similares transformaciones pueden tener el mismo polinomio característico.

Así que mi pregunta es: ¿Qué podemos decir acerca de dos transformaciones $\alpha$ $\beta$ que comparten el mismo polinomio?

Obviamente, $\alpha$ $\beta$ tienen el mismo espectro y la misma multiplicidad algebraica para cada autovalor.

Pero a menos $R$ es algebraicamente cerrado de campo, en este caso el polinomio es determinado por las raíces y sus multiplicidades--debemos ser capaces de decir más acerca de $\alpha$$\beta$. También debemos saber más que las huellas y los factores determinantes, ya que son solo dos de los coeficientes.

Alguien puede dar una pista? Gracias!

Answer 1

El grado en el que el polinomio característico no charcterise similitud puede ser ilustrado, para el caso de que $R$ es un campo, por la forma canónica racional, que en este caso no caracterizan a la similitud. La forma canónica racional está determinado por una única secuencia definida de monic polinomios (invariante factores), que cada uno es un múltiplo de alguno de los polinomios que seguir (yo prefiero esta a la más requisito común de dividir lo que sigue); la secuencia puede tener cualquier longitud, pero puede ser el pensamiento de acabar con un indefinida repetición de la constante del polinomio $1$ (igual que en las particiones de un entero son débilmente la disminución de las secuencias de enteros que puede ser pensado como una final, con un sinfín de apariciones de $0$). El primer factor invariante (en el orden que yo elegí) es el polinomio mínimo, y el producto de todos los factores invariantes es el polinomio característico.

Ahora si a solucionar el polinomio característico, su irreductible factores en $R[X]$ son determinados; todos ellos deben ocurrir como un factor del polinomio mínimo. De hecho, la multiplicidad de los fijos de un polinomio irreducible $P$ en el invariante factores deben ser débilmente disminuyendo, por lo que estas multiplicidades forma una partición de la multiplicidad de $P$ en el polinomio característico. La elección de una partición para cada uno de los que ocurren irreductible factor de $P$ es exactamente la libertad que uno tiene para la elección racional de la forma canónica, y por lo tanto determina el número de similitud clases de transformaciones con un determinado polinomio característico.

El "regular" el caso es donde el polinomio mínimo es igual al polinomio característico; esto es forzado cuando el polinomio característico es squarefree. En este caso, el centraliser de $\alpha$ (en el endomorpism álgebra) es igual al conjunto de los polinomios en $\alpha$, que es de dimensión $n$ (el mismo que el de espacio vectorial en el que $\alpha$ actos). Creo que en todos los demás casos, la dimensión de la centraliser es estrictamente mayor que $n$, de ahí la similitud de la clase es menor que en el caso habitual; este intuitivamente explica por qué no hay ningún funciones polinómicas que se puede separar a la "singular" casos como el de la regular con el mismo polinomio característico.