Estoy buscando una forma de integrar la siguiente fórmula donde ppf() es la función de punto percentil para la distribución normal estándar, cdf() es su inversa, y A es una constante:
\begin {Ecuación} \int_ {0}^{1} cdf(ppf(x)-A)dx \end {Ecuación}
¡Puedo hacerlo con una técnica monte carlo pero espero que haya una forma más rápida! Gracias de antemano si alguien puede ayudar...
Dado que la función de punto percentil es la inversa de la normal estándar CDF $\Phi(\cdot)$ podemos escribir la integral deseada como $$\begin{align} \int_0^1 \Phi\left(\Phi^{-1}(x) - A\right)\, \mathrm dx &= \int_{-\infty}^\infty \Phi(y-A)\phi(y)\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^{y-A} \phi(z)\,\mathrm dz\right]\phi(y)\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{y-A} f_{Y,Z}(y,z)\,\mathrm dz \, \mathrm dy\\ &= P\{Z \leq Y-A\}\\ &= P\{Y-Z \geq A\}\\ &= 1 - \Phi\left(\frac{A}{\sqrt{2}}\right) \end{align}$$ donde tenemos
usado $\phi(\cdot)$ para denotar el pdf normalizado
sustituido $x = \Phi(y)$ , $\mathrm dx = \phi(y)\,\mathrm dy$ , $x=0 \to y = -\infty$ , $x=1 \to y = \infty$ como en la respuesta de Whuber,
sustituido $\Phi(y-A)$ por su definición como la integral de $\phi(\cdot)$
reconoció el integrando como el conjunta densidad de dos independiente variables aleatorias normales estándar $Y$ y $Z$
reconoció que la integral doble da $P\{Z \leq Y-A\}$
reconoció que $Y-Z$ es una variable aleatoria normal de media cero con varianza $2$
El resultado final es el mismo que el dado en la respuesta de Whuber.
Dejemos que $f$ sea la PDF normalizada y $F$ el FCD. Sustituyendo $x=F(y)$ da
$$g(a) = \int_0^1 F(F^{-1}(x)-a)dx = \int_{-\infty}^\infty F(y-a)f(y)dy.$$
La derivada de esta expresión con respecto a $a$ se puede encontrar diferenciando bajo el signo de la integral, por lo que
$$\frac{dg(a)}{da} = -\int_{-\infty}^\infty f(y-a)f(y)dy= -\int_{-\infty}^\infty f(a-y)f(y)dy$$
porque $f$ es una función par. La integral es la fórmula de la FDP de la suma de dos variables Normales estándar, que por tanto tendrá media $0$ y la desviación estándar $\sqrt{2}$ .
Integrar con respecto a $a$ para invertir la diferenciación demuestra que $g(a)$ es el negativo de la FCD de una Normal $(0, \sqrt{2})$ variable, hasta una constante aditiva de integración. Dado que el valor límite de $g$ como $a\to\infty$ es obviamente $0$ y el valor límite de la FCD es $1$ la constante de integración debe ser igual a $1$ . Por lo tanto,
$$g(a) = 1 - F\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right).$$
Por lo tanto, cualquier método para calcular una FCD normal servirá.
Hay una interpretación gráfica sencilla de este resultado basado en el transformada integral de probabilidad. Recordemos que el FCD $F_X$ de una distribución absolutamente continua reexpresa la variable $X$ como valor $F_X(X)$ que tiene un uniforme distribución. Además, $F$ es invertible con la inversa $F^{-1}$ . Suponiendo que $\xi$ y $\eta$ se distribuyen independientemente con la distribución $F$ Considere el evento
$$A = \{(\xi, \eta)\ |\ \xi-\eta\gt a\}.$$
Esto se representa por la región debajo de la superficie en el gráfico de la izquierda y por la región coloreada en el gráfico del medio, ambos mostrados en $(\xi,\eta)$ ejes:
El valor $a=-3/2$ está ilustrado.
Cuando $\xi$ se reexpresa como $x = F(\xi)$ y $\eta$ como $y=F(\eta)$ , $A$ puede escribirse como
$$A = \{(x, y)\ |\ F^{-1}(x) - F^{-1}(y)\gt a\}.$$
Esta es la región sombreada en el gráfico de la derecha, que se muestra en el reexpresado $(x,y)$ coordenadas. Para mostrar más claramente la reexpresión, he etiquetado los ejes de este gráfico con las correspondientes $(\xi, \eta)$ para que las líneas de la cuadrícula del gráfico central coincidan con las de este gráfico. La reexpresión simultánea de $\xi$ y $\eta$ ha convertido el límite de $A$ que era una línea $\xi-\eta=a$ a la izquierda, en un curvilíneo límite.
El punto clave es que la densidad variable que se muestra en los gráficos de la izquierda y del medio (la densidad conjunta de $\xi$ y $\eta$ ) se convierte en uniforme en el gráfico de la derecha. Esto reduce las cuestiones de búsqueda de probabilidades, que implican la integración de la PDF conjunta sobre $A$ --a los de encontrar zonas.
Resolver para $y$ nos muestra que $A$ es la región bajo el gráfico
$$y = F(F^{-1}(x) - a)$$
que se extiende sólo desde $x=0$ a través de $x=1$ . Es decir, cuando ambos $\xi$ y $\eta$ tienen densidades dadas por $F$ ,
$${\Pr}_X(\xi-\eta\gt a)={\Pr}_X(A) = \int_0^1 F(F^{-1}(x) - a)dx = g(a).$$
Este resultado perfectamente general, cuando se aplica a una distribución normal estándar, produce fácilmente la respuesta anterior.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
