Es una combinación convexa de las probabilidades condicionales de la probabilidad condicional de una combinación convexa de la incondicional probabilidades?

Question

Deje $P_1,...,P_k$ probabilidad de ser medidas en $(\Omega, \mathcal{F})$, y deje $E \in \mathcal{F}$ con $P_i(E) > 0$, $i=1...k$. Supongamos que $\beta_i \geq 0$, $i=1,...,k$, y $\sum_{i=1}^k \beta_i = 1$.

A continuación, $\sum_{i=1}^k \beta_i P_i(\cdot \mid E)$ define una medida de probabilidad en $(\Omega, \mathcal{F})$, debido a que cada probabilidad condicional $P_i(\cdot \mid E)$ es una medida de probabilidad y una combinación convexa de las probabilidades es una probabilidad.

Mi pregunta es si $\sum_{i=1}^k \beta_i P_i(\cdot \mid E)$ puede ser expresado como la probabilidad condicional, dado $E$, de una combinación convexa de $P_1,...,P_k$.

Pregunta. No existen $\alpha_i \geq 0$, $i=1,...,k$, con $\sum_{i=1}^k \alpha_i = 1$ tal que $(\sum_{i=1}^k \alpha_i P_i)(\cdot \mid E) = \sum_{i=1}^k \beta_i P_i(\cdot \mid E)$?

Creo que la respuesta es sí, porque creo que puedo comprobar en el caso de $i=2$ por la fuerza bruta de cálculo que no voy a reproducir aquí (es bastante complicado y, creo, no muy instructivo). El problema es que tengo la sensación de que me falta algo hecho básico o de observación que pudiera dar respuesta a mi pregunta en una forma más elegante y de iluminación.

Answer 1

Sí, esto es realmente fácil. Set$\alpha_i = \frac{\beta_i}{\alpha P_i(E)}$$\alpha = \sum_{i=1}^k\frac{\beta_i}{P_i(E)}$. Entonces $$ \left(\sum_{i=1}^k \alpha_i P_i\right)(\cdot \mid E) = \frac{\sum_{k=1}^n\alpha_i P_i(\cdot \cap E)}{\sum_{i=1}^k \alpha_i P_i(E)} =\frac{\sum_{k=1}^n \beta_i \frac{ P_i(\cdot \cap E)}{\alpha P_i(E)}}{ \sum_{i=1}^k \frac{\beta_i}{\alpha}} = \sum_{i=1}^k \beta_i P_i(\cdot \mediados de Correo). $$