Creo que es hora de dar una respuesta. Advertencia: puedo dar una respuesta completa, lo que podría querer a punto de leer a la mitad si lo que desea es una buena sugerencia.
Podemos escribir:
$$\{L > 1\} = \bigcup_{x > 1} \{L > x\},$$
pero como tenemos un número incontable de evento en el derecho, no vamos a ser capaces de concluir que el lado izquierdo tiene una medida de $0$, incluso si cada una de las $\{L > x\}$ tiene una medida de $0$. Así que usar el truco habitual (discretización):
$$\{L > 1\} = \bigcup_{k \in \mathbb{N}^*} \{L > 1+1/k\},$$
y todo lo que tiene para mostrar es que, para todos los $k \in \mathbb{N}^*$,$\mathbb{P} (L > 1+1/k) = 0$. Nos deja elegir cualquier positivos $k$. Entonces:
$$\{L > 1+1/k\} = \{ \exists \varepsilon > 0: X_n \geq (1+1/k+\varepsilon) \ln (n) \ \text{i.o.} \} \subset \{ X_n \geq (1+1/k) \ln (n) \ \text{i.o.} \}.$$
Si usted tiene una buena respuesta para la primera pregunta, entonces usted sabe que $\mathbb{P} (X_n \geq (1+1/k) \ln (n) \ \text{i.o.}) = 0$ porque $1+1/k>1$. Por lo tanto, $\mathbb{P} (L > 1+1/k) = 0$, y esto vale para todos los $k \geq 1$. El argumento que me dieron en un principio, $\mathbb{P} (L > 1) = 0$.
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Sólo un breve comentario: yo no hice exactamente lo que he dicho en mi comentario hasta allí. De hecho, si elegimos utilizar los eventos $\{L \geq 1+1/k\}$, que no se benefician de la inclusión:
$$\{L \geq 1+1/k\} \subset \{ X_n \geq (1+1/k) \ln (n) \ \text{i.o.} \},$$
lo cual es falso. En lugar de eso, debemos usar algo como:
$$\{L \geq 1+1/k\} \subset \{ X_n \geq (1+1/(2k) \ln (n) \ \text{i.o.} \},$$
que es desordenado. Así, por el bien de la elegancia, la desigualdad estricta en $\{L > 1+1/k\}$ es bastante útil.
