La existencia de un almacén de bola

Question

Permite definir: $$F(X) :=\{A \subseteq X \mid A \neq \emptyset , A = \overline{A}\}.$$

Para $A, B \in F(X)$ $p \in X$ definir $$d_p(A,B) = \sup_{x \in X} \{ | \operatorname{dist}(x,A) - \operatorname{dist}(x,B) | e^{- \rho(p,x)} \}.$$ Se llama a esta función Busemann métrica.

Ahora también podemos definir: $$ B(X) := \{ A \in F(X) \mid A \text{ bounded} \}.$$ Para $A, B \in B(X)$ lay: $$d(A,B) = \max \{ \sup_{x \in X} \operatorname{dist} (x,A), \sup_{x \in X} \operatorname{dist} (x,B) \}. $$ Esta se llama métrica de Hausdorff. $$ $$

Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema:

Si $(X, \rho )$ es un espacio métrico, a continuación, $d_p$ $d$ equivalente a más de $B(X)$.

Para lograr esto, necesito mostrar, que no existe (por $A \in B(X) $) $r>0$ s.th. $ \bigcup K_p (A,r) $ está delimitado en $X$.

¿Alguien sabe qué puedo hacer para lograr eso?

Answer 1

Ayuda a observar que la métrica de Hausdorff $d$ también puede ser dado por la fórmula $$d (A,B) = \sup_{x \in X} \{ | \operatorname{dist}(x,A) - \operatorname{dist}(x,B) | \}$$ De hecho, la definición original de $d$ cantidades de tomar este supremum $A\cup B$ solo; pero se puede comprobar con la desigualdad de triángulo que para otros valores de $x$, la diferencia de $| \operatorname{dist}(x,A) - \operatorname{dist}(x,B) | $ no exceda el $d(A,B)$.

Por lo tanto, la única diferencia entre las definiciones es el factor de $e^{-\rho(x,p)}$. En particular, $d_p\le d$.

A continuación, me gustaría centrarse en considerar el conjunto de $$B_R(X) := \{ A \in F(X) \mid A\subset B(p,R) \}$$ donde $B(p,R)=\{x\mid \rho(x,p)\le R\}$. Para estos conjuntos, $d_p\ge e^{-R}d$ debido a la restricción de la supremum en la definición de $d_p$ $x\in A\cup B$ya se da, al menos,$e^{-R} d(A,B)$.

Así, vemos que las métricas son equivalentes en cada una de las $B_R(X)$. Por lo tanto, el mapa de identidad a partir de una métrica para el otro es continua en ambos sentidos, según sea necesario.