Probar que una serie converge en $L^2( \Omega )$

Question

Deje que $ \Omega $ ser un dominio limitado y suave y dejar $ \varphi_k $ ser eigenfunciones del Neumann Laplaciano con eigenvalores $ \lambda_k $ .

Deje que $u \in H^1( \Omega )$ . Quiero mostrar que para todos $y \in (0, \infty )$ que la siguiente suma converge en $L^2( \Omega )$ :

$$f(x,y) = \sum_ {k=1}^ \infty e^{-y \sqrt { \lambda_k }}(u, \varphi_k )_{L^2} \varphi_k (x).$$

¿Cómo muestro esto? ¿No es también válido para $y=0$ ?

Por supuesto que conozco la definición de convergencia en $L^2$ (las sumas parciales convergen en el $L^2$ norma), el problema es que no puedo asumir que un límite se mantenga para mostrar que la suma converge en ese límite.

Answer 1

Arreglar $y \in [0,\infty)$ . Sea $f_N(x,y) := \sum_{k=1}^N e^{-y\sqrt{\lambda_k}} (u,\varphi_k) \varphi_k(x)$ sea la suma parcial, y que $g_N := f-f_N$ sea la cola de la serie. Consideremos la integral $\int_{\Omega } g_N^2$ : escribir $g_N^2$ como un producto de dos sumas y multiplicando los términos, entonces sólo los términos diagonales sobreviven después de integrar porque el $\varphi_k$ son ortonormales. De ello se deduce que \begin{align*} \int_{\Omega} g_N^2 &= \sum_{k=N+1}^{\infty} \int_{\Omega} e^{-2y \sqrt{\lambda_k}} (u, \varphi_k)^2 \varphi_k(x)^2 dx\\ &= \sum_{k=N+1}^{\infty} e^{-2y\sqrt{\lambda_k}}(u,\varphi_k)^2 \end{align*} Es un hecho estándar que los valores propios de Neumann son no decrecientes, es decir $\lambda_k \geq \lambda_1 = 0$ para todos $k$ . Sustituyendo esto en la igualdad anterior, obtenemos que $$ \int_{\Omega} g_N^2 \leq e^{-2y\sqrt{\lambda_1}} \sum_{k=N+1}^{\infty} (u,\varphi_k)^2 = \sum_{k=N+1}^{\infty} (u,\varphi_k)^2 \to 0 \textrm{ as $ N \N - a \N - a \N - a \N - a \N - a ud. $.} $$ Esta última suma llega a cero ya que $N \to \infty$ porque es una cola de la serie convergente $\| u \|_{L^2}^2 = \sum_{k=1}^{\infty} (u,\varphi_k)^2 < \infty$ (y esto $L^2$ -es efectivamente finita ya que el espacio de Sobolev $H^1(\Omega)$ se incrusta en $L^2(\Omega)$ ). Por lo tanto, como las sumas parciales $f_N$ convergen a $f$ en el $L^2$ -normas, la serie $f(\cdot, y)$ converge en $L^2(\Omega)$ para cada fijo $y \in [0,\infty)$ .