¿cuál es el valor de $\tan\theta$$\csc\theta$?

Question

Por favor me ayudan a resolver este problema.No puedo entender qué hacer.
Si $(a^2-b^2)\sin\theta + 2ab\cos\theta = a^2+b^2$ $\theta$ es agudo y ángulo positivo, entonces ¿cuál es el valor de $\tan\theta$$\csc\theta$ ?

Answer 1

Sugerencia:

$$(a^2-b^2)\sin\theta + 2ab\cos\theta = (a^2+b^2)\sin(\theta+\alpha)$$

Donde

$$\cos(\alpha)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\ \sin(\alpha)=\frac{2ab}{a^2+b^2}$$

Answer 2

La ecuación puede ser escrita

$$\frac{1-t^2}{1+t^2} \sin \theta + \frac{2t}{1+t^2}\cos \theta = 1$$

Donde $t = \frac b a$.

Ahora, si $\frac b a = t=\tan \frac{\alpha}{2}$ ($\alpha \in ]0, \pi[$ si ambos $a$ $b$ son positivos), a continuación,$\frac{1-t^2}{1+t^2}=\cos \alpha$$\frac{2t}{1+t^2}=\sin \alpha$, y la ecuación se convierte en:

$$\cos \alpha \sin \theta + \sin \alpha \cos\theta = 1$$

O

$$\sin (\alpha + \theta) = 1$$

Consigue $\theta = \frac{\pi}2 - \alpha + 2k\pi$, lo que $$\tan \theta = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac {\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{a^2-b^2}{2ab}$$

Y

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$