Cómo utilizar automorphism de Grupo para definir automorphism de su factor de grupo?

Question

Deje $G$ ser un grupo y $T$ un automorphism de $G.$ Si $N$ es un subgrupo normal de $G$ tal que $T(N)\subset N,$ entonces cómo utilizar esta $T$ a definir un automorphism de $G/N?$ En este problema me quedo atascado. No tengo idea de cómo empezar una solución. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Aquí es un natural de la hoja de ruta:

Deje $\overline G=G/N$ y definen $\overline T: \overline G \to \overline G$$\overline T(\overline g) = \overline {T(g)}$. Ahora a probar:

• $\overline T$ está bien definido.

• $\overline T$ es un homomorphism.

• $\overline T$ es un automorphism.

La real sólo no trivial punto es que $\overline T$ es inyectiva. Para eso, necesitamos $T(N)=N$.