Ya que quiere evitar las ecuaciones diferenciales, consideraré en su lugar la llamada El dominio de los fáseres que en realidad no es más que la transformación de Fourier de las señales originales.
En el dominio de los fáseres, consideraremos básicamente valores complejos: Voltajes complejos, resistencias complejas (que se denotan por $Z$ y se llama impedancia): Esto es simplemente la conveniencia matemática, y siempre recuperaremos los valores físicos reales al final.
Por el momento, olvídense de las partes activas del circuito y concéntrense en los elementos pasivos, es decir, olvídense del interruptor y de la fuente de corriente continua. Ahora vamos a comprobar el comportamiento de los elementos restantes si le damos al complejo voltaje $V(t)=e^{i \omega t}$ :
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Para el condensador, tenemos la ecuación $C \frac {dV}{dt}=I$ por lo tanto, tenemos $$I=i \omega C e^{i \omega t}$$ lo que significa que la impedancia es $$Z= \frac {V}{I}= \frac {1}{i \omega C}$$
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Para el inductor, tenemos la ecuación $L \frac {dI}{dt}=V$ por lo tanto, tenemos $$ i \omega L I=e^{i \omega t}$$ lo que significa que la impedancia es $$Z= \frac {V}{I}=i \omega L$$
Dado que el condensador y el inductor están en serie, la impedancia total es su suma (al igual que en el caso de las resistencias), por lo tanto la impedancia de la parte pasiva del circuito es $$Z=i \omega L+ \frac {1}{i \omega C}= \frac {1- \omega ^2 LC}{i \omega C}$$
Esto significa que el voltaje a través del condensador para una señal de CA sinusoidal sería $$V_ \text {capacitor}=V_ \text {input} \frac {Z_ \text {capacitor}}{Z_ \text {total}}=V_ \text {input} \frac { \frac {1}{i \omega C}}{ \frac {1- \omega ^2 LC}{i \omega C}}$$ por lo que la relación entre el voltaje de entrada y el de salida es $$ \frac {V_ \text {output}}{V_ \text {input}}= \frac {1}{1- \omega ^2 LC}$$ donde tomamos el voltaje de salida como el voltaje del condensador.
Uno puede notar inmediatamente que la proporción iría al infinito si excitáramos el sistema con una fuente de CA de la frecuencia $$ \omega = \frac {1}{ \sqrt {LC}}$$ Esto se llama la frecuencia de resonancia. En esta frecuencia, el sistema acumula cada ciclo de energía entrante y aumenta su salida indefinidamente. En el mundo real, la existencia de resistencias en los sistemas y la avería de los equipos impide esta divergencia hasta el infinito.
Si volvemos a nuestra pregunta, ahora sólo necesitamos saber cómo podemos escribir nuestra excitación en términos de ondas sinusoidales puras de frecuencias constantes. Si sabemos esto, entonces podemos examinar la salida del sistema porque estamos tratando con un sistema lineal: El efecto de la suma de las señales sinusoidales es igual a la suma de los efectos de las señales individuales.
Nuestra señal de entrada es simplemente la función de paso, o la llamada función Heaviside-theta, que es cero antes de $t=0$ y constante después $t=0$ donde elegimos $t=0$ como el momento en que se enciende el interruptor. Ahora hay que descomponer la función Heaviside-theta en sinusoides puras: Me saltaré el cálculo aquí; es básicamente la transformación de Fourier de esta función. La respuesta es $$V_ \text {input}(f)=E \left ( \frac {i}{ \sqrt {2 \pi }f}+ \sqrt { \frac { \pi }{2}} \delta (f) \right )$$ lo que significa que estamos creando una señal de entrada que se descompone de $V_ \text {input}(f)$ para todas las frecuencias $f$ . Ahora podemos encontrar la señal de salida para cada $f$ utilizando el ratio anterior:
$$V_ \text {output}(f)= \frac {E}{1-4 \pi ^2 f^2 LC} \left ( \frac {i}{ \sqrt {2 \pi }f}+ \sqrt { \frac { \pi }{2}} \delta (f) \right )$$ donde usamos el hecho de que la frecuencia natural $ \omega $ es $2 \pi f$ .
Ahora podemos obtener nuestro resultado tomando la transformación inversa de Fourier, sumando efectivamente sobre la contribución de todos los sinusoides puros con diferentes $ \omega $ valores: De nuevo, esto se debe al hecho de que el sistema es lineal. Me saltaré los cálculos, pero puede usar Mathematica fácilmente para hacer esto por usted como puede verse en la imagen adjunta. El resultado es $$V_ \text {output}(t)= \left\ { \begin {aligned}E \left (1- \frac {1}{2} \cos \left ( \frac {t}{2 \pi\sqrt {C L}} \right ) \right ) \quad t>0 \\0\quad t<0 \end {aligned} \right. $$ lo cual es matemáticamente cierto pero con la condición límite equivocada. Comentaré esto más adelante. Sin embargo, nos muestra el comportamiento relevante.
Puedes ver en la imagen que el voltaje simplemente sigue oscilando. Los gráficos reflejan tres hechos:
- La energía sigue cambiando de ser almacenada en el condensador a ser almacenada en el inductor.
- Como no hay resistencia, no hay efecto de amortiguación, ¡así que las oscilaciones no mueren!
- La forma de salida sólo depende de las características del circuito pasivo; a saber, la inductancia del inductor y la capacitancia del condensador. La tensión de entrada sólo escala la forma de salida. Este es un concepto genérico: En ingeniería, esta característica se denomina respuesta al impulso, mientras que en física se sabe que es la función de Green, aunque la respuesta al impulso es en realidad un caso específico de las funciones más generales de Green.
EDITOS (Respuestas a los comentarios):
- Hubo una errata antes donde escribí $ \sqrt [4]{LC}$ en lugar de $ \sqrt {LC}$ . Lo corregí arriba, ahora todo es dimensionalmente consistente.
El resultado respeta el valor límite en $t=0$ Sin embargo, este valor límite está mal definido. Sabemos que la tensión de entrada es $E$ para $t>0$ y $0$ para $t<0$ Sin embargo, no sabemos qué es exactamente $t=0$ ya que encender un interruptor es un salto discontinuo. La elección matemáticamente usual es tomarlo como el valor medio, por lo tanto $E/2$ en $t=0$ esto está de hecho en la definición de Heaviside theta en Mathematica también, y esto es por lo que obtenemos $E/2$ para $t=0$ en nuestra salida! Estaba completamente equivocado aquí, me di cuenta gracias a @AlfredSi se quiere definir el comportamiento del conmutador de forma diferente, se pueden repetir los cálculos en consecuencia (en realidad, utilizar las ecuaciones diferenciales sería mucho más fácil). La salida no tiene nada que ver con el interruptor sino con la condición límite elegida. Sin embargo, con la condición límite elegida, al final, la respuesta estática $E$ en la salida se mantendría igual mientras que la respuesta de salto $- \frac {E}{2} \cos ( \frac {t}{2 \pi\sqrt {L C}})$ se escalaría a $-E \cos ( \frac {t}{2 \pi\sqrt {L C}})$ por lo tanto tendríamos $$ V_ \text {output}=V_ \text {capacitor}=E \left (1- \cos ( \frac {t}{2 \pi\sqrt {L C}}) \right ) $$ por lo tanto $$I=C \frac {dV_ \text {capacitor}}{dt}= \frac {E}{2 \pi } \sqrt { \frac {C}{L}} \sin\left ( \frac {t}{2 \pi\sqrt {L C}} \right )$$
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Comentarios adicionales
OMI, el enfoque más simple de la cuestión es utilizar las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, como OP nos pidió que evitáramos esto, traté de explicarlo utilizando el hecho de que los sistemas eléctricos son sistemas lineales y que las eingenfunciones de los sistemas lineales son funciones exponenciales; es decir, sinusoidales puras. Creo que esta es la aproximación conceptualmente más cercana a la utilización de ecuaciones diferenciales, aunque no igualmente rigurosas. En esta parte trataré algunas cuestiones relativas al enfoque anterior.
En primer lugar, la transformación de Fourier inversa de nuestra salida, $$V_ \text {output}(f)= \frac {E}{1-4 \pi ^2 f^2 LC} \left ( \frac {i}{ \sqrt {2 \pi }f}+ \sqrt { \frac { \pi }{2}} \delta (f) \right )$$ es en realidad $$V_ \text {output}= \text {sgn}(t) \sin ^2 \left ( \frac {t}{4 \pi \sqrt {C L}} \right )+ \frac {1}{2}$$ que tiene el comportamiento como la trama de abajo: ![enter image description here]()
Hay algunos comandos en orden:
- La trama parece ingenuamente no causal, ya que hay una señal no nula incluso antes de que se encienda el interruptor. Sin embargo, esa señal es en realidad la señal resonante que mencionamos anteriormente. Como discutimos allí, la resistencia efectiva (impedancia) para esta señal es cero para el circuito, por lo que esa señal nunca puede desaparecer en una solución genérica: ¡No tiene nada que ver con que el interruptor se encienda o se apague! El efecto del interruptor es puramente el desplazamiento de la salida, de manera continua, lo cual es causal.
- En el lenguaje de las ecuaciones diferenciales, la señal resonante es la solución homogénea que está presente en el sistema a menos que sea eliminada por una condición límite/inicial. El efecto del interruptor es la solución particular, que es simplemente el desplazamiento de la señal de salida de una manera causal.
- En el EDITOS En la parte de arriba, me confundí y declaré incorrectamente que la razón del voltaje es $1/2$ en $t=0$ es por la convención de Heaviside-theta. Esto no es cierto. Creo que tiene que ver con el hecho de que se supone que las señales convergen a cero al infinito en la Transformada de Fourier, por lo que el valor medio del seno debe ser 0 para $t<0$ forzando a la señal a ser $1/2$ en $t=0$ para permanecer continuo con el $t>0$ parte. Si en cambio imponemos la condición de que sea $0$ en $t=0$ obtenemos el resultado correcto para $t>0$ y una señal irrelevante/infísica para $t<0$ .
- Un método mucho mejor para hacer este cálculo es utilizar el dominio de Laplace en lugar del dominio de Fourier, donde consideramos la transformación de Laplace de $0$ a $ \inf $ . Esto nos permitiría implementar la condición de límite directamente en el dominio de Laplace y no obtendríamos la parte no física para $t<0$ . También se puede hacer eso; lo he evitado porque no busco un método riguroso o eficiente sino uno conceptualmente fácil, y el espacio de los fáseres es más fácil de entender para la OMI.
Para justificar las explicaciones anteriores, establezcamos las ecuaciones diferenciales: \begin {alinear} I_c=&I_l \Rightarrow\\ \frac {d I_c}{d t}=& \frac {d I_l}{d t}+ \frac {a}{L} \Rightarrow\\ C \frac {d^2 V_c}{d t^2}=& \frac {V_l}{L}+ \frac {a}{L} \Rightarrow\\ LC \frac {d^2 V_c}{d t^2}=&V_i-V_c+a \Rightarrow\\ \left (LC \frac {d^2}{d t^2}+1 \right )V_c=&V_i+a \end {alinear} donde $V_i$ es el voltaje de entrada.
La solución homogénea es la de $$ \left (LC \frac {d^2}{d t^2}+1 \right )V_c=0$$ que es simplemente $$V_c^ \text {homogeneous}=b \cos\left ( \frac {t+c}{ \sqrt {LC}} \right )$$ Esta es exactamente la misma señal que observamos para $t<0$ en la trama de arriba.
El procedimiento correcto es utilizar la función de Green con la señal de entrada con las condiciones de límite apropiadas: Esto es lo que los ingenieros de EE. UU. llamarían respuesta de impulso. El dominio Laplace es ideal para este trabajo para los sistemas lineales. Mi explicación anterior, por otro lado, corresponde a encontrar una solución particular para $V_i=E$ en su lugar, combinándolo con una solución homogénea, imponiendo $V_E(t=0)=0$ y descartar $t<0$ parte.
