He hecho una pequeña ilustración que representa la idea clave. Si esto es en coherencia con lo que he preguntado, podríamos resumir algunos puntos importantes sobre el caso.
![Thought experiment]()
Total de energía de la Tierra y el Imán de Barra del sistema está dada por la ecuación:
$KE + PE = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{GMm}{R}$
Mientras que el PE está ahí para que tanto la Tierra como el sistema de imán (combinado), KE está disponible para el imán para gastar en la oscilación. Si, aunque oscilante, que se dedica este KE por transformándola en energía térmica en la resistencia del inductor en el circuito, KE disminuye lentamente y se convierte en cero.
$KE + PE = 0 + \frac{GMm}{R}$
es decir, la oscilación aprovechar para existir.
Una manera fácil de ver sería a considerar el cambio en KE. Vamos a empezar con el péndulo magnético:
Componente de la aceleración angular = $\alpha =\frac{-Lmg\ sin(\theta)cos(\theta)}{I}$
Esto claramente tiene sus valores máximos en 45 grados de amplitud. Ahora, la componente de la fuerza debido a este par de restauración es dar,
$F =\frac{-L^{2}m^{2}g\ sin(\theta)cos(\theta)}{I}$
A partir de esta empujando o tirando de la fuerza de podemos derivar el poder y por lo tanto de la energía:
$P=Fv$
$\frac{dE}{dt} = Fv = \frac{-L^{2}m^{2}gv}{I}sin(\theta)cos(\theta)$
En la integración,
$\int dE = \int \frac{-L^{2}m^{2}gv}{I}sin(\theta)cos(\theta)\ dt$
$\int_{0}^{\frac{T}{2}}dE = k\int_{0}^{\frac{T}{2}} vsin(\theta)cos(\theta)\ dt$
Esto le da el empuje de la energía en una sola pulsación (la mitad del periodo de oscilación).
Ahora la energía quemada por la resistencia está dada por:
$dE = Pdt$
$\int_{0}^{\frac{T}{2}}dE = \int_{0}^{\frac{T}{2}}Pdt$
$\int_{0}^{\frac{T}{2}}dE = \int_{0}^{\frac{T}{2}}I^{2}Rdt$
La corriente en el circuito LR es
$I = \frac{V}{R}\left (1-e^{\frac{-Rt}{L}} \right )$
La sustitución de los actuales,
$\int_{0}^{\frac{T}{2}}dE = \int_{0}^{\frac{T}{2}} V\left (1-e^{\frac {Rt}{L}} \right )^{2}dt
$
Por lo tanto el cambio en la energía de un medio ciclo es
$\Delta E_{\frac{T}{2}} = k\int_{0}^{\frac{T}{2}} vsin(\theta)cos(\theta)\ dt - \int_{0}^{\frac{T}{2}} V\left (1-e^{\frac{-Rt}{L}} \right )^{2}dt$
Esta es la forma en la RHS amortigua el cambio de energía. La resistencia en la segunda integral domina en cada integración. Si no estaba allí, El resto de las emf/potencial plazo se cancela a sí misma en un ciclo completo de integración. Por lo tanto, no habría un cambio de energía. Esto no es sorprendente, porque el inductor puede volver a dar la fuerza magnética en cada medio ciclo con la misma magnitud. Espero que esto hará que sea más claro, ya que mi intento anterior fue algo dudosa.
