¿El dominio de la forma de la extensión de Friedrichs de un operador ilimitada compacto incrustar?

Question

Decir que tenemos un % de espacio de Hilbert $H$y un operador simétrico positivo $T$ con dominio $D$. Definir una norma $|u|_T = \langle Tu, u\rangle$ $u\in D$ y tomar la terminación del $D$ con respecto a esta norma para obtener un nuevo % de espacio de Hilbert $V$.

Parte de la construcción de la extensión de Friedrichs de $T$ es que la inserción mapa $D\hookrightarrow H$ se extiende un mapa acotado inyectiva $V\hookrightarrow H$.

¿Si es ilimitada en $T$ $H$, es el % de inclusión $V\hookrightarrow H$una integración compacta?

Answer 1

No en general. Por ejemplo, $T=1-\Delta$ $\Delta=d^2/dx^2$ en la línea verdadera, usted consigue los habituales espacios de Sobolev y sus inclusiones no son compactas (o bien inversión de Fourier sería una suma en lugar de una integral, por ejemplo).