Sé $G/N$ es isomorfo a un subgrupo de $G$ en este caso, por lo que el instinto me tuve fue 'no'. Pero hay ejemplos de grupos que son isomorfos a la correcta subgrupos, tales como los enteros ser isomorfo a los números enteros, por lo que el razonamiento no funciona. Sin embargo, en este caso los números enteros no son un cociente de enteros.
edit: ahora me doy cuenta de que $G/N$, no necesariamente es isomorfo a un subgrupo de $G$, sólo un subgrupo de $G$.
Un grupo con esta propiedad se llama nonHopfian. Lo que solía ser abierta la cuestión de si hubo finitely generado ejemplos, y algunos ejemplos fueron finalmente encontrados por Baumslag y Solitar.
El más simple es el grupo ${\rm BS}(2,3)$ definido por la presentación de $\langle x,y \mid y^{-1}x^2y=x^3 \rangle$ donde $N$ es normal en el cierre del elemento $r=x^{-1} y^{-1} xyx^{-1} y^{-1} xyx^{-1}$.
El relator $r$ es equivalente a la relación $x=(x^{-1} y^{-1} xy)^2$, y la adición de este como un extra de relación da
$\langle x,y \mid y^{-1}x^2y=x^3, x=(x^{-1} y^{-1} xy)^2 \rangle \cong$ $\langle x,y,w \mid w=x^{-1} y^{-1} xy, y^{-1}x^2y=x^3, x=w^2 \rangle \cong$ $\langle y,w \mid y^{-1}w^2y=w^3, y^{-1}w^4y=w^6 \rangle \cong G.$
También tiene que demostrar que $r$ no es igual a la identidad en $G$, lo que requiere un poco de la teoría de la HNN extensiones.
Sí. Deje $G$ ser el grupo aditivo de los números complejos, y deje $N$ ser el subgrupo que consta de los números reales.
Edición en respuesta al comentario de @GA316:
$(\mathbb C,+)/\mathbb R$ es claramente isomorfo a $(\mathbb R, +)$, y es bien conocido (pero esto requiere el Axioma de Elección) que $(\mathbb C,+)\cong(\mathbb R,+)$.
Mi respuesta es un caso especial de la respuesta publicada simultáneamente por Asaf Karagila, considerando $\mathbb C$ como un espacio vectorial sobre el campo de los números racionales.
Tomar cualquier infinitas dimensiones espacio vectorial $V$, y deje $W$ ser cualquier subespacio de $V$ cuyo complemento directo tiene la misma dimensión como $V$. Por ejemplo, cualquier finito dimensionales subespacio.
A continuación, $V/W$ deben tener la misma dimensión como $V$.
(Y ahora se nota que los espacios vectoriales son Abelian grupos, y que los subespacios son subgrupos...)
Otro ejemplo: Fijar un primer $p$ y deje $T_p=\{z\in\mathbb{C}|\exists n\geq0\hspace{5pt} z^{p^n}=1 \}$.
Considerar el mapa de $\varphi: T_p\to T_p$ definido por $\varphi(z)=z^p$. A continuación, $\varphi$ es un homomorphism no triviales kernel, $N=\{z\in \mathbb{C}|z^p=1\}$$\operatorname{Im}(\varphi)=T_p$, lo $T_p/N\cong T_p$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
