A la práctica con deformaciones, estoy tratando de calcular el espacio de primer orden de las deformaciones de la cuspidal de la curva de $X=\textrm{Spec }B$, donde $B=P/I$, $P=k[x,y]$ y $I=(f)=(y^2-x^3)$.
El conormal secuencia $$I/I^2\overset{d}{\longrightarrow}\Omega_{P/k}\otimes_PB\cong B\,dx\oplus B\,dy\longrightarrow \Omega_{B/k}\longrightarrow 0$$ induce una $B$-lineal mapa (el "doble" de $d$) $$\alpha:\hom_B(\Omega_{P/k}\otimes_PB,B)\to\hom_B(I/I^2,B).$$ Sólo a ser tan claro como sea posible con aquellos que lea esta pregunta, quiero dar una lista de "sinónimos" en el espacio de primer orden de las deformaciones de la $X$ (con la esperanza de no confundir a nadie, ni a estado algo mal!):
- $\textrm{coker } \alpha$,
- $T^1(B/k,B)$,
- $\textrm{Ex}_k(B,B)$,
- $\textrm{Ext}^1_B(\Omega_{B/k},B)$.
Hice el intento de determinar $\textrm{coker }\alpha$, pero ahora estoy atascado.
Lo que hice fue traducir los mapas de forma explícita. Así, por ejemplo, $I/I^2$ es una de las principales módulo generado por $\overline f=f+I^2$, lo $$d:\overline f\mapsto 2y\,dy-3x^2\,dx.$$ Esto es útil para determinar el $\alpha$. La fuente es generado por dos campos vectoriales $\partial/\partial x$$\partial/\partial y$, así: \begin{align} \alpha: &\partial/\partial x\mapsto (\overline f\mapsto \partial f/\partial x=-3x^2),\\ \alpha: &\partial/\partial y\mapsto (\overline f\mapsto \partial f/\partial y=2y). \end{align}
Ahora, como $I/I^2$ es una de las principales del módulo, se obtiene una identificación $(\star)$ $$\textrm{coker }\alpha=\hom_B(I/I^2,B)/\textrm{Im }\alpha\overset{(\star)}{\cong} B/(-3x^2,2y)\cong k[t^2,t^3]/(t^4,t^6).$$
Yo no puede ir más allá, y recuerdo haber leído en los Módulos de Curvas que este espacio debe ser $2$-dimensional. Alguien me puede ayudar a concluir?
