¿Es correcta esta fórmula? $$\sum_{k=0}^\infty \sin(x)^{ki}=\frac{i}{\sin(\ln(\sin(x)))-i\cos(\ln(\sin(x)))+i}$ $ ¿Cómo es posible darle una prueba de esta igualdad? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La suma es una serie geométrica con forma cerrada, $|\sin^i{x}| \lt 1$:
$$\frac{1}{1-(\sin{x})^i} = \frac{1}{1-e^{i \log{\sin{x}}}} = \frac{1}{1-\cos{\log{\sin{x}}} - i \sin{\log{\sin{x}}}}$$
Multiplicar numerador y denominador por $i$ y tienes la expresión buscada.
Tenga en cuenta que se trata de una expresión puramente formal, y debe entenderse que el examen de una rama del registro antes de realizar un cálculo real.
