Encontrar el límite .

Question

Considere $f$ es diferenciable,

$$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{f(a+\frac{k}{n^2}) -f(a)}{\frac{k}{n^2}}$$ . Mi idea era , Ya que $f$ es diferenciable cada término de la suma existe $\forall n$ Por lo tanto, digamos que $M$ sea el máximo por lo que tenemos

$$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^2} n.|M|$$ Por lo tanto, el límite es $0$ . ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Porque $f$ es diferenciable, hay límite $$ \frac{f(a+t)-f(a)}{t} $$ existe y es igual a $f'(a)$ . Por lo tanto, hay un valor $t_0$ tal que para $t < t_0$ sostiene que $\frac{f(a+t)-f(a)}{t} \in (f'(a)-1,f'(a)+1)$ . En cualquier caso, para un tamaño suficientemente pequeño $t$ , $|\frac{f(a+t)-f(a)}{t}| < |f'(a)|+1$ . Por otro lado, si selecciona $F:= \max_{a\leq x \leq x+1} |f(x)|$ entonces para $t_0 < t < 1$ tienes $|\frac{f(a+t)-f(a)}{t}| < F/t_0$ . Si $M = \max(|f'(a)|+1,F/t_0)$ entonces $|\frac{f(a+t)-f(a)}{t}| < M$ para todos $t \leq 1$ .

Aplicando esto a la suma en cuestión, obtenemos

$$ \sum_{k=1}^n \frac{f(a+\frac{k}{n^2}) -f(a)}{\frac{k}{n^2}} < n M.$$ Así, $$ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{f(a+\frac{k}{n^2}) -f(a)}{\frac{k}{n^2}} \leq \lim_{n\to \infty}\frac{M}{n} =0. $$

Answer 2

Obsérvese que, como f es diferenciable, entonces podemos aproximar (cuando $n$ es grande ) como

$$ f(a+\frac{k}{n^2})\sim f(a)+f'(a)\frac{k}{n^2}. $$

Ahora, tenemos

$$ \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{f(a+\frac{k}{n^2}) -f(a)}{\frac{k}{n^2}} \sim \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{(f(a)+f'(a)\frac{k}{n^2})) -f(a)}{\frac{k}{n^2}}$$

$$=\frac{f'(a)}{n^2}\sum_{k=1}^{n}1=\frac{f'(a)}{n^2}n=\frac{f'(a)}{n}\longrightarrow_{n\to \infty} 0. $$

Answer 3

Tal vez podrías usar $\frac{f(a+\frac{k}{n^2})-f(a)}{\frac{k}{n^2}} = f'(\xi)$ donde $\xi\in (a, a+\frac{k}{n^2})$

Así que $\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^n\frac{f(a+\frac{k}{n^2})-f(a)}{\frac{k}{n^2}} = \frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^nf'(\xi_k) \sim \frac{f'(a)}{n} \sim 0$