Número entero positivo

Question

Encontrar todos los trillizos $(a,b,c)$ de los enteros positivos, de modo que $\gcd(a,b,c)=1$ y $$ \frac{2abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $$ es un entero positivo.

Lo que he hecho: primero me miró con Mathematica para las soluciones. Para $a<150$, $b<1000$ y $c<1000$, he encontrado $(1,1,1)$, $(7,117,121)$ y $(11,39,49)$ como las únicas soluciones válidas, lo que me llevó a creer que estos son los únicos. Por desgracia, no tengo idea de cómo probar esta afirmación. Lo que podría ser interesante es que estos trillizos también sería soluciones si el problema había afirmado $abc$ en lugar de $2abc$, y que en ese caso la fracción sería igual a $1$ o $13$. Ahora puede ser $2$ o $26$. También, hay más soluciones si la fracción es permitido ser negativo, pero por el momento no estoy interesado en ellos. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Me temo que tu conjetura no es correcto. La situación es bastante compleja. He estado estudiando tales cúbicos representación problemas durante algún tiempo.

La identidad básica de \begin{equation*} \frac{2abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}=N \end{ecuación*} es equivalente a encontrar los puntos del infinito de orden en la curva elíptica \begin{equation*} v^2=u^3+2(2N^2-2N-1)u^2+(4N+1)u \end{ecuación*}

Específicamente soluciones positivas la situación es aún más complicada, en la que también tenemos un punto donde la u coordenada es negativa.

Tales situaciones son muy raras, pero otros ejemplos vienen de $N=74, 218$ que dan los resultados en el comentario. Una novela solución es $N=250$ con $(97, 10051, 10125)$ como una solución.

También podemos utilizar múltiplos de los puntos de la elíptica de la curva de formulación para obtener soluciones más grandes. Por ejemplo, $N=26$ tiene la solución

$a=4739\,2819\,4344\,87$

$b=2634\,1867\,7932\,41$

$c=7228\,3008\,5646\,67$

y podemos seguir recibiendo más y más soluciones.

Answer 2

Será mejor manera de comentar, no respuesta, pero no puedo. Sus no todas las soluciones, por ejemplo, $(27, 1805, 1813)$, $(115, 5239, 5341)$.

Answer 3

Este problema es equivalente a buscar un triángulo de lados enteros tal que\begin{equation} \frac{R}{r}=N \end{ecuación } donde $R$ es el radio del circumcircle y $r$ es el radio del círculo inscrito, con $N \in \mathbb{Z}$.

Los detalles completos están en un papel que escribí en 2010 en foro Geometricorum que puede ser obtenido de la revista web-Ste.