Demuestre que$X$ es un compacto.

Question

Que $X$ ser un subconjunto de $R^n$ y cada función diferenciable en $X$ es limitado, entonces demostrar que $X$ es compacto.

Answer 1

Teniendo en cuenta la función lisa $f(x) = |x|^2$, podemos ver que $X$ debe ser limitado.

Ahora Supongamos que $y \notin X$ y definir $g_y(x) = \frac{1}{|x-y|^2}$. Entonces es lisa en $g_y$ $X \subset {y}^c$. Desde $g_y$ es limitado, debemos tener un barrio $U$ $y$ tal que $U \cap X = \emptyset$, por lo tanto, $X^c$ está abierto.

Ahora aplique Heine – Borel.