Dos definiciones de $\limsup$

Question

Aquí hay dos definiciones equivalentes de $\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n$ :

• Dejemos que $u_n=\sup\{a_n, a_{n+1}, a_{n+2},\ldots\}$ . Entonces $$\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup\{a_n,a_{n+1},\ldots\}\right)$$

• Dejemos que $E$ sea el conjunto de todos los límites subsiguientes de $\{a_n\}$ . Entonces $$\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n = \sup E$$

Tengo curiosidad por saber cuál es la que la gente suele aprender primero, o cuál es la que la gente encuentra más intuitiva. Baby Rudin sólo tiene la segunda definición, pero no menciona la primera, que yo sepa.

En cuanto a la intuición, pienso en la segunda definición como "el mayor punto límite". Sin embargo, no estoy seguro de cómo pensar en la primera definición. Puedo ver que $u_n \ge u_{n+1}$ para todos $n$ pero no estoy seguro de cómo interpretar el límite de esos $u_n$ conceptualmente.

¿Existen otras formas de conceptualizar $\limsup$ ?

Answer 1

La primera definición tiene la gran virtud de coincidir exactamente con la notación: define $\limsup_na_n$ para ser el limitar (como $n\to\infty$ ) del suprema (de las colas de la secuencia). Dado que el comportamiento de una secuencia viene determinado por sus colas, esto es algo muy natural a tener en cuenta. En términos generales, es lo que "debería" ser el sumo de la secuencia si pudiéramos ignorar las fluctuaciones más o menos insignificantes de cada segmento inicial finito. No podemos hacer eso literalmente, porque puede haber tales fluctuaciones arbitrariamente lejos en la secuencia, pero podemos hacerlo en el límite. Dejemos que $u=\limsup_na_n$ cualquier cola de la secuencia puede tener un supremum mayor que $u$ pero si lo hace, una cola posterior tendrá un supremum más pequeño, habiendo exprimido más la fluctuación "temprana" sin sentido. Nótese que como los supremos de las colas forman una secuencia no creciente,

$$\limsup_na_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}a_k=\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{k\ge n}a_k\;.\tag{1}$$

Esta definición también se generaliza con relativa facilidad a las secuencias en redes completas que tienen nociones de sumo e ínfimo de conjuntos arbitrarios de elementos. En particular, si $X$ es un conjunto, $\wp(X)$ es una red completa con $\bigcup$ como supremacía y $\bigcap$ como infimo. Sea $\langle A_n:n\in\Bbb N\rangle$ sea una secuencia de subconjuntos de $X$ . Un primer intento de generalizar la primera definición podría ser

$$\limsup_nA_n=\lim_{n\to\infty}\bigcup_{k\ge n}A_k\;,\tag{2}$$

pero no tenemos (todavía) una noción de límite de una secuencia de conjuntos. La última expresión de $(1)$ sin embargo, hace el truco muy bien: podemos definir significativamente

$$\limsup_nA_n=\inf_{n\in\Bbb N}\bigcup_{k\ge n}A_k=\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{k\ge n}A_k\;.$$

Mejor aún, podemos ver que tiene el mismo efecto general de deshacerse de las fluctuaciones iniciales esencialmente sin sentido: la unión de cualquier cola puede ser mayor que $\limsup_nA_n$ pero si lo es, una cola posterior tendrá una unión más pequeña, al haber exprimido más puntos que sólo están en un número finito de las $A_n$ .

La segunda definición expresa una propiedad muy importante del límite superior de una secuencia de números reales, pero creo que la primera da un acceso más fácil a las diversas nociones más generales de límite superior.

Answer 2

Creo que una definición más adecuada de $\limsup$ es

$$ \limsup_{n\to\infty} a_n = \inf_{n \ge 1} \sup\{a_n, a_{n+1}, \ldots\} $$

porque necesitas $\limsup$ y $\liminf$ para definir $\lim$ .

La forma en que pienso en $\limsup$ es el límite de la "envolvente superior" de la secuencia. Como cuando se tiene $a_n = \left(1 + \frac 1n\right)\sin n$ , $\limsup_{n \to \infty} a_n = 1$ y $\liminf_{n \to \infty} a_n = -1$ pero el límite no existe.

Answer 3

Vagamente pensé que Rudin sí dijo explícitamente que el limsup de una secuencia es el supremum de sus puntos límite. Podría estar equivocado.

En cuanto a la primera definición, hay que pensar en la $u_n$ como "el mayor elemento a este lado del río". Si sigues moviendo el río, te quedas sólo con el elemento más grande. Por supuesto, esto es muy impreciso, pero me ayuda.

Answer 4

$\limsup_{n\to\infty} x_n $ y $\liminf_{n\to\infty} x_n $ surgen naturalmente al tratar de entender las subsecuencias convergentes de la secuencia $ (x_n) $ . La idea es la siguiente ( Vamos a ver las secuencias reales en todo momento ) :

Las secuencias convergentes tienen buenas propiedades ( por ejemplo, la acotación, $ \lim_{n\to\infty} (xa_n + yb_n) = x(\lim_{n\to\infty} a_n) + y(\lim_{n\to\infty} b_n) $ etc.), y la noción es bastante central, ya que muchas otras nociones pueden replantearse en términos de ésta ( por ejemplo, " $ f : A (\subseteq \mathbb{R} ) \rightarrow \mathbb{R} $ es continua en un punto $ p \in A $ " si y sólo si "para cada secuencia $ (a_n) $ en $ A $ convergiendo a $ p $ tenemos $ f(a_n) $ convergiendo a $ f(p) $ " ). En general una secuencia no converge, pero lo más parecido que podemos tener es una subsecuencia convergente (Recordemos que una subsecuencia de $ x_1, x_2, x_3, \cdots $ es sólo una secuencia $ x_{j_1}, x_{j_2}, x_{j_3}, \cdots $ con $ j_1 < j_2 < j_3 < \cdots $ ). ¿Cuándo una secuencia $ (x_n) $ tiene una subsecuencia convergente? Y cuando la tenga, ¿qué podemos decir sobre $ \{ \text{ limits of convergent subsequences of } (x_n) \: \} $ ?

Centrémonos primero en la segunda cuestión, es decir, en lo que ocurre si una secuencia $ (x_n) $ tiene una subsecuencia convergente $ (x_{n_k}) $ . Suponiendo la acotación de $ (x_n) $ tenemos $ \beta_{n_k} \leq x_{n_k}, x_{n_{k+1}}, x_{n_{k+2}}, \cdots \leq \alpha_{n_k} $ donde $ \alpha_j := \sup \{ x_j, x_{j+1}, x_{j+2}, \cdots \} $ y $ \beta_j := \inf \{ x_j, x_{j+1}, x_{j+2}, \cdots \} $ . Desde $ (\alpha_j) $ es no creciente y acotado por debajo tiene un límite $ \alpha = \inf \alpha_j $ , y de forma similar $ (\beta_j) $ siendo no decreciente y acotado por encima tiene un límite $ \beta = \sup \beta_j $ . Ahora tomando $ k \to \infty $ da $ \beta \leq \lim_{k\to\infty} x_{n_k} \leq \alpha $ .

En resumen: Dejemos que $ (x_n) $ sea una secuencia acotada con una subsecuencia convergente $ (x_{n_k}) $ . Entonces $ \lim x_{n_k} \in [ \beta, \alpha ] $ , donde $ \alpha $ y $ \beta $ son los límites de $ \alpha_j := \sup \{ x_j, x_{j+1}, \cdots \} $ y $ \beta_j := \inf \{ x_j, x_{j+1}, \cdots \} $ respectivamente.

Ahora abordemos la primera cuestión (nótese que en la discusión anterior sólo necesitábamos la acotación de $ (x_n) $ para hablar de $ \alpha_j, \beta_j $ y sus límites $ \alpha $ , $ \beta $ ). Si $ (x_n) $ es una secuencia acotada, porque intuitivamente "hay términos de la secuencia que se pegan cerca de $ \alpha_j $ s, y el $ \alpha_j $ s convergen a $ \alpha $ " y de forma similar para $ \beta $ esperamos que haya subsecuentes que converjan a $ \alpha $ & $ \beta $ . Es realmente cierto: Deja que $ (x_n) $ sea una secuencia acotada. Como siempre $ \alpha_j := \sup \{ x_j, x_{j+1}, \cdots \} $ , $ \beta_j := \inf \{ x_j, x_{j+1}, \cdots \} $ con sus respectivos límites $ \alpha = \inf \alpha_j $ y $ \beta = \sup \beta_j $ . Existe un $ n_1 $ tal que $ \alpha_1 - 1 < x_{n_1} \leq \alpha_1 $ . Ahora existe $ n_2 ( \geq n_1 + 1 > n_1 ) $ tal que $ \alpha_{{n_1} + 1} - \frac{1}{2} < x_{n_2} \leq \alpha_{{n_1} + 1} $ . Y ahora existe $ n_3 ( \geq n_2 + 1 > n_2 ) $ tal que $ \alpha_{{n_2}+1} - \frac{1}{3} < x_{n_3} \leq \alpha_{{n_2}+1} $ y así sucesivamente. Por lo tanto, obtenemos $ n_1 < n_2 < \cdots $ tal que $ \alpha_{{n_{j-1}}+1} - \frac{1}{j} < x_{n_{j}} \leq \alpha_{{n_{j-1}}+1} $ para todos $ j \geq 1 $ ( tomaremos $ n_0 = 0 $ para dar sentido a la $ j = 1 $ desigualdad ). Así que tomando $ j \to \infty $ Finalmente conseguimos $ \lim_{j \to \infty} x_{n_j} = \alpha $ . Del mismo modo, se puede construir una sucesión de $ (x_n) $ convergiendo a $ \beta $ .

Para resumir toda la discusión : Dejemos que $ (x_n) $ sea una secuencia acotada. Entonces $ S := \{ \text{ limits of convergent subsequences of } (x_n) \: \} $ es no vacía, con $ \max(S) = \alpha $ y $ \min(S) = \beta $ , donde $ \alpha = \inf \alpha_j $ y $ \beta = \sup \beta_j $ son los límites de $ \alpha_j := \sup \{ x_j, x_{j+1}, \cdots \} $ y $ \beta_j := \inf \{ x_j, x_{j+1}, \cdots \} $ respectivamente.

Nota: : Aquí el hecho de que $ S \neq \varnothing $ La teoría de Bolzano-Weierstrass, es decir, que toda secuencia acotada de reales tiene una subsecuencia convergente, se llama tradicionalmente teorema de Bolzano-Weierstrass. Es fundamental para el análisis, y también puede demostrarse mediante un argumento de bisección.