En su caso, el entrelazado resultado que usted ha mencionado es que el $\lambda_1(G') \geq \lambda_2(G)=d$. En el otro sentido, Weyl de la desigualdad (el triángulo de la desigualdad de la espectral de la radio) le dice a usted
$$\lambda_1(G') \leq \lambda_1(G) + \lambda_1(G-G')=d+1,$$
pero creo que podemos decir algo más fuerte.
Supongamos que tenemos
$$A'v = \lambda v $$
donde $A'$ es la matriz de adyacencia de $G'$. Asumir WLOG que $|v(x)| \geq |v(y)|$, y deje $z$ ser un vértice tener la máxima $|v(z)|$ entre todos los vértices distintos de $x$$y$. Con el triángulo de la desigualdad y el autovalor definición, tenemos
$$\lambda |v(x)| = |(A' v) x | \leq \sum_{w \sim x} |v(w)| \leq |v(x)| + d |v(z)|$$
(el $d$ vecinos de $x$ $H_1$ cada contribuir en la mayoría de las $|v(z)|$, e $y$ contribuye en la mayoría de las $|v(x)|$). Del mismo modo,
$$\lambda |v(z)| = |(A' v) z| \leq \sum_{w \sim z} |v(w)| \leq |v(x)| + (d-1) |v(z)|$$
Deje $v'=\left(\begin{array}{c} |v(x)| \\ |v(z)| \end{array}\right)$, y deje $M=\left(\begin{array}{cc} 1 & d \\ 1 & d-1\end{array}\right)$. Las anteriores desigualdades nos dicen
$$0 \leq \lambda v' \leq M v'$$
en cada coordenada, por lo que tenemos
$$\lambda ||v'|| \leq ||M v'|| \leq ||M|| ||v'|| = \frac{1}{2} (d+\sqrt{d^2+4}) ||v'||$$
De modo que el radio espectral de $G'$ es en la mayoría de las $\frac{1}{2} (d+\sqrt{d^2+4})$. Para un gran $d$ esto es aproximadamente el $d+\frac{1}{d}$.
Tengo la sensación de que esto puede ser bien conocidas y clásicas, pero no tienen una referencia.