¿Existe un grupo abelian finito $G$, que $\textrm{Aut}(G)$ es abelian pero $G$ no es cíclico?

Question

¿Hay un ejemplo en que $G$ es un Grupo abeliano finito y $\textrm{Aut}(G)$ es abelian $G$ no cíclico?

Answer 1

Si $G$ es abelian finito y no cíclico, puede ser escrito como suma directa $G=G_1\oplus G_2\oplus\ldots \oplus G_n$ $n\ge2$ grupos cíclicos no triviales de dividir entre sí las órdenes. Decir $G_1\cong \mathbb Z/m\mathbb Z$ y $G_2\cong \mathbb Z/md\mathbb Z$. $G_1\oplus G_2$ $\operatorname{Aut}(G_1\oplus G_2)$ Es un sumando directo, es un subgrupo de $\operatorname{Aut}(G)$. El grupo $\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/md\mathbb Z$ tiene especialmente los automorfismos $$\phi\colon (x+m\mathbb Z,y+md\mathbb Z)\mapsto (x+y+m\mathbb Z,y+md\mathbb Z)$$ and $% $ $\psi\colon(x+m\mathbb Z,y+md\mathbb Z)\mapsto(x+\mathbb Z,y+dx+md\mathbb Z).$tenemos $\psi(\phi(m\mathbb Z,1+md\mathbb Z))=(1+m\mathbb Z,1+d+md\mathbb Z)$ y $\phi(\psi(m\mathbb Z,1+md\mathbb Z))=(1+m\mathbb Z,1+md\mathbb Z)$. $m>1$, Esto demuestra que $\operatorname{Aut}(G_1\oplus G_2)$ no es abelian.