Semicontinuidad inferior de la medida unidimensional de Hausdorff bajo convergencia de Hausdorff

Question

Sea $\mathcal H^1$ sea la medida unidimensional de Hausdorff sobre $ \mathbb R^n$ y que $d_H$ sea la métrica de Hausdorff sobre subconjuntos compactos de $\mathbb R^n$ . Si $K_n$ está conectado para todo $n \in \mathbb N$ y $d(K_n,K) \to 0$ Me gustaría saber si $$\mathcal H^1 (K) \leq \liminf\limits_{n \to \infty} \mathcal H^1(K_n).$$

Si $K_n$ no está conectado, esto no es cierto. Se puede tomar $K_n = \bigcup\limits_{i=0}^{2^n-1} [{i \over 2^n}, {i + 1/2 \over 2^n}]$ . Entonces $\mathcal H^1(K_n) = 1/2$ pero $K_n \to [0,1]$ . Además, para $\mathcal H^k$ , $k$ un número entero mayor que uno, esto falla estrepitosamente. Véase esta imagen del libro de Frank Morgan:

Creo que lo que intento demostrar se utiliza implícitamente en el artículo de Peter Jones sobre el problema del analista viajante de comercio.

Answer 1

Esto se denomina Teorema de Golab. En

1. La geometría de los conjuntos fractales de K. J. Falconer, Teorema 3.18.
2. Temas sobre análisis en espacios métricos de L. Ambrosio y P. Tilli, Teorema 4.4.17

Esbozaré la prueba siguiendo a Falconer.

Primer paso: $K$ está conectado. En efecto, si $K$ se divide en dos conjuntos compactos no vacíos, entonces sus vecindades disjuntas forman una separación de $K_n$ para $n$ lo suficientemente grande.

Paso 2: Si $\liminf$ es infinito, no hay nada que demostrar. De lo contrario, podemos suponer $\mathcal H^1(K_n)\le C<\infty$ pasando a una subsecuencia.

Paso 3: Sustituir cada $K_n$ con un árbol topológico $T_n\subset K_n$ tal que $T_n$ sigue convergiendo a $ K$ . Para ello, elija un $1/n$ -red en $K_n$ y unir sus puntos mediante arcos, de uno en uno, sin crear bucles. Para ello se utiliza el hecho de que un continuo de arcos finitos $\mathcal H^1$ está conectada por arcos (lema 3.12 del libro de Falconer).

Paso 4: Arreglar $\delta>0$ y descomponer cada $T_n$ en la unión $\bigcup_{j=1}^k T_{nj}$ de continuos con diámetro como máximo $\delta$ tal que $\sum_{j=1}^k \mathcal H(T_{nj}) = \mathcal H^1(T_n)$ . Esto requiere otro lema, que se demuestra truncando repetidamente las ramas más largas del árbol. Es importante que $k$ puede elegirse independientemente de $n$ sólo depende de $\delta$ y $\sup_n\operatorname{diam}T_n$ .

Paso 5: Utilizando el teorema de selección de Blaschke (una secuencia de conjuntos compactos dentro de un conjunto acotado tiene una subsecuencia convergente), y tomando algunas subsecuencias, podemos disponer que $T_{nj}\to E_j$ como $n\to\infty$ para cada $j$ .

Paso 6: Puesto que $K=\bigcup_{j=1}^k E_j$ y $\operatorname{diam}E_j\le \delta$ para cada $j$ se deduce que $$\mathcal H^1_\delta(K)\le \sum_{j=1}^k \operatorname{diam}E_j = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^k \operatorname{diam}T_{nj} \le \liminf_{n\to\infty} \sum_{j=1}^k \mathcal H^1 (T_{nj}) \\ \le \liminf_{n\to\infty} \mathcal H^1 (T_{n}) \le \liminf_{n\to\infty} \mathcal H^1 (K_{n}) $$ como se afirma. Para ello se utiliza la continuidad del diámetro con respecto a la métrica de Hausdorff.