Resuelve$A^nx=b$ para una matriz idempotente

Question

Deje$$A=\begin{bmatrix}2& 3& -4\\ 0& 1 & 0\\ 0.5& 1.5 &-1\end{bmatrix},~ b=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}.$$ Show that $ A$ is idempotent and solve the matrix equation $$A^nx=b$$ for each positive integer $ n $.

Answer 1

¿Hay una parte donde tienes problemas?

Para la primera parte, hacer exactamente lo que la pregunta--multiplicar $A$ por sí mismo y que regreses $A$.

¿Para la segunda parte, si $A^2=A$, entonces el $A^n = \ldots$?

EDICIÓN: Usted puede resolver el sistema con eliminación Gaussiana. A partir de $$\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -4\0 & 1 & 0\1/2 & 3/2 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\0\0\end{array}\right]$ $ podemos agregar $-4$ veces la última fila a la primera para obtener $$\left[\begin{array}{ccc}0 & -3 & 0\0 & 1 & 0\1/2 & 3/2 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\0\0\end{array}\right],$ $ y ahora añadir 3 veces la segunda fila a la primera da $$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\0 & 1 & 0\1/2 & 3/2 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\0\0\end{array}\right]$ $ y el sistema no tiene solución.